Solution. 7


1. De Laval nozzle

באיור ניתן לראות תרשים מנוע סילון, מצא את הפיתרון הטרנס-סוני (המתחיל תת-קולי ועובר להיות על-קולי) על פי 
משוואת הכוחות ההידרודינמית אותה הזכרנו בכיתה : \(\frac{\partial}{\partial t}+V \cdot \nabla \)V =-\frac{1}{\rho}\nabla P-\nabla \Phi

בהנחה כי
\nabla \Phi =0 (אין השפעה של גרביטציה ) וכן \rho(x) V(x) A(x) = constant  
הנח כי הצפיפות והמהירות הם פונקציות של X בלבד ולא של y & z  כלומר קירוב לצינור צר
 וגם  V \cdot \nabla V =V \frac{dV}{dx} = \frac{dV^2 }{2dx}


2.  The electro magnetic stress energy tensor
מספר הקווים המגנטיים (החשמליים) העוברים משטח מסויים ניתן על ידי :
B \cdot \Delta A (E \cdot \Delta A) כאשר  \Delta A = \Delta x \Delta y
וצפיפות האנרגיה ליחידת נפח היא \frac{B^2}{8 \pi}\( \frac{E^2}{8 \pi}\)
הלחץ הוא : P_{xx} =-\frac{dE}{dV}\frac{dV}{\Delta X}   וכן עבור y.  P_\perp =P_{xx} =P_{yy}
כאשר כיוון הקווים הוא z .
הנח כי קיימת קופסא, אשר מצידה האחד מונחים מטענים חיוביים ומצידה השני מטענים שליליים . ראה ציור
 
 א.     בהנחה שE \cdot dA =constant הראה כי כאשר השטח dA גדל, קווי השדה "רוצים להתרחק אחד מהשני" .
 ב.      הראה כי אם מותחים את הקופסה ( \Delta zגדל) קווי השדה "מפעילים מתח נגדי" ו "רוצים לכווץ את הקופסא בחזרה" . מהו סימנו שלP_{xx}  ו  P_{zz}
 ג.       הראה כיצד מגיעים לתוצאות הנ"ל פעם על ידי תיאור קווי השדות החשמליים ופעם נוספת על ידי תיאור של "מטענים חשמליים". ניתן להניח כי\Delta xו \Delta y שואפים לאינסוף כך שקווי השדה ישרים לחלוטין



ניתן לראות כי הביטוי המתאר את האנרגיה של המערכת הוא :
W_B=\frac{B^2}{8 \pi}A \cdot L
כך שניתן לראות כי \frac{dW_B}{dA}\|_{L=const.}>0  כך שהאנרגיה עולה אם A גדל.

\frac{dW_B}{dL}\|_{A=const.}>0


3.  
חוק פראדיי
הראה כי קווי שדה מגנטי הם "כלואים" אם הם נמצאים בתווך מוליך (פלזמה למשל)

      כלומר הוכח כי : \frac{d}{dt}\iint B \cdot dA =0

\oint B(t+dt)dA(t+dt)-\oint B(t)dA(t)=0
אם גודל הטבעת נשאר קבוע, נקבל:
=\iint \frac{\partial B}{\partial t}+B \cdot \delta A
כאשר \delta A =\[ \frac{\vec v}{c} \times \vec{dl} \] dt   ולכן גם   B \cdot \delta A =B \cdot \[ \frac{\vec v}{c} \times \vec{dl} \] dt  ומכאן   B \cdot \delta A =\vec{dl} \cdot \[B \times \frac{\vec v}{c}  \] dt

במקרה של תווך מוליך, ולאחר שהחלקיקים נעים במהירות סחיפה כלשהי, מתקיים גם: E +  \frac{\vec v}{c} \times B  = 0  ולכן   E = B \times \frac{\vec v}{c}  
כך ש  B \cdot \delta A =E \cdot \vec{dl} dt

 מציבים ומקבלים :

\[ \oint \frac{\partial B}{\c \partial t}dA+ \oint B \cdot \[\vec{dl} \times \frac{\vec v}{c}\]\]dt= \[\oint \vec E \cdot \vec{dl} \]dt