Solution Ex. 6



רוח השמש:

משוואת הכוחות ההידרודינמית אותה הזכרנו בכיתה היא : \(\frac{\partial}{\partial t}+V \cdot \nabla \)V =-\frac{1}{\rho}\nabla P-\nabla \Phi
בהנחה שהאטמוספירה בכדור הארץ היא סטטית ובעלת טמפרטורה קבועה:

 א.     הראה כיצד מתנהגת הצפיפות \rho בתנאים אלה 
ב.      עבור השמש במקרה ש בהנחה ש \Phi הוא מן הצורה \frac{GM}{r} כיצד מתנהגת הצפיפות אז ?
ג.       על פי התוצאות הנ"ל, איך בכל זאת מגיעה אלינו רוח השמש ?


נתונים:
 P=\frac{\rho KT}{m}
עבור כדוה"א \nabla \Phi = g (constant)          T=300 K         משקל אטום חנקןm

ועבור השמש     T=1.5x106 K          משקל אטום מימןm   ( משקל השמש)  M=2x1033g   ( רדיוס השמש)  R=6x1010cm




פתרון:

א.   בתאים אלה, המהירות היא אפס והטמפ' קבועה, מכאן נקבל:
ממשוואת הכוחות נשאר עם  \nabla P=-\rho \nabla \Phi כאשר ניתן לבטא את דיפרנציאל הלחץ על יד דיפרנציאל הצפיפות \nabla P=KT \nabla \rho
משתי משוואות אלה נקבל משוואה דיפרנציאלית עבור הצפיפות:    \rho=-\frac{KT}{m \nabla \Phi} \nabla \rho
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הוא:\rho=e^{-\frac{m\nabla \Phi}{KT} r} כלומר, צפיפות שהולכת ויורדת עם המרחק.

ב. במקרה שהפוטנציאל הולך כמו \frac{GM}{r} אזי  \nabla \Phi=-\frac{GM}{r^2}  והמשוואה הדיפרנציאלית היא : \rho=\frac{KT}{GMm} r^2 \nabla \rho
פתרון המשוואה הדיפרנציאלית הוא:
\rho=e^{-\frac{GMm}{KTr} כלומר, הצפיפות נהיית קבועה עם המרחק.
וההצבת המספרים:

קובץ Mathematica  עם הגרפים

ג. ההנחה כי המערכת היא סטטית אינה נכונה כך שבהינתן מהירות לחלקיקים באטמוספירה רוח השמש מגיעה אלינו בעצמה.