Ex. 4



קרינת דיפול:

ניתן לדמות פולסר לדיפול מגנטי, אם נניח כי בקוטבי הדיפול מונחים "מטענים" מגנטייםQ ו Q- הרחוקים אחד מן השני מרחק a .
הדיפול המגנטי המתקבל הוא  \vec M=Q\vec a
נתון: r =106m        w = 100 rad/sec         B = 104Gauss
 א.     הראה כי השדה המגנטי לאורך הציר המחבר בין הקטבים הוא: H=\frac{2Qa}{r^3}
ב.      בהנחה שהפולסר מסתובב בניצב לציר המגנטי, הראה כי עצמת הקרינה היא: I=\frac{2}{3c^3} \ddot M \approx 10^{36} erg/sec



פתרון:
א. נפתור את הבעיה ע"י אנלוגיה למטענים חשמליים, כך שהשדה המתקבל הוא:
E=\frac{Q}{\(\vec r - \frac{\vec a}{2}\)^2}-\frac{Q}{\(\vec r + \frac{\vec a}{2}\)^2} \approx_{r \gg a} \frac{2Qa}{r^3}
ובאנלוגיה חזרה : H= \frac{2Qa}{r^3}

ב. בסעיץ הקודם מצאנו את השדה על פני הפולסר, מתוך ביטוי זה ניתן למצוא את Q -  גודל "המטען המגנטי" Q= \frac{HR^3}{2a} \Rightarrow \(a=2R\) \Rightarrow Q= \frac{HR^2}{4} שוב באנלוגיה למטען חשמלי נשתמש בביטוי המתאר את סך הקרינה הנפלטת מדיפול , כאשר במקרה זה התאוצה היא: a=\dd R =\omega^2 R

כך שסך הקרינה הוא: I= \frac{2q^2a^2}{3c^3}= \frac{2\(\frac{HR^2}{4}\)^2 \(\omega^2 R \)^2}{3c^3}=\frac{H^2R^6\omega^4}{6c^3}

ובהצבת המספרים:  I=\frac{10^{24} \, _{gauss} \cdot 10^{36} \, _{cm}\cdot 10^8}{6 \cdot \(3 \times 10^{10} \, _{cm/s} \)^3}=\frac{10^68}{6 \cdot 27 \times 10^{30}} \approx 1.6 \times 10^{36} erg/sec

קרינת סינכרוטרון:

בלב ערפילית הסרטן גר פולסר, עצמת השדה המגנטי בקירבתו היא :       B=104Gauss  

א.     חשב את תדירות הפרסציה של אלקטרון לא יחסותי סביב קו השדה.

ב.      חשב את תדירות הפרסציה של אלקטרון יחסותי בעל אנרגיה   109eV  ו 1012eV.

פתרון:

א. נציב:
\nu_c=\frac{\omega_c}{2\pi}=\frac{e B}{2\pi m_0 c}= \frac{4.8\times10^{-10}esu \cdot 10^{-4}gauss}{2\pi 9.1\times 10^{-28}g \cdot 3\times 10{10}cm/s}=280Hz


ב. ובאותו אופן:
מקרה א'
\nu_m=\nu_c\( \frac{\epsilon}{m_0c^2} \)^2=280Hz \( \frac{10^9eV}{0.51 \times 10^6eV} \)^2 = 280Hz \cdot \(1960\)^2 \approx 1100MHz
מקרה ב'
\nu_m=\nu_c\( \frac{\epsilon}{m_0c^2} \)^2=280Hz \( \frac{10^{12}eV}{0.51 \times 10^6eV} \)^2 = 280Hz \cdot \(1.9\times 10^6\)^2 \approx 10^{15}Hz \Rightarrow UV


שטף קרינה / חוק סטפן - בולצמן / חוק ווין:


שטף הקרינה המגיע אלינו מן השמש הוא (1.36x106erg/(cm2sec

מהו צבעה  של השמש ? (אורך הגל עם העצמה הגדולה ביותר)

רמז לפתרון:
       א. מצא את הקשר בין שטף הקרינה המגיע אלינו לבין הבהירות המוחלטת של השמש.
       ב.  מן הבהירות המוחלטת חשב את הטמפרטורה על פני השמש.
        ג.  ע"פ הטמפרטורה של פני השמש מצא את אורת הגל הנפלט עם העצמה הגדולה ביותר.

פתרון:

מהשטף אנו יודעים את סך הקרינה שנפלטה מן השמש:

יחידת השטח היא על פי מרחק כדוה"א מהשמש:L= F \cdot 4\pi D^2 כאשר  D=1 A.U. = 1.5x1013 cm


מכאן ניתן למצוא את הטמפרטורה על פני השמש:  L=A \sigma T^4
A=4 \pi R^2
T^4=\frac{L}{A\sigma}=\frac{F \cdot D^2}{R^2 \sigma}
T=\sqrt[4]{\frac{1.36\times 10^{-6}erg/cm^2sec\cdot \(1.5 \times 10^{13}cm\)^2}{\(7 \times 10^{10}cm\)^2 \cdot 5.67\times 10^{-5}\, _{\frac{erg}{cm^2k^4sec}}}}=5760^oK
ומחוק וין נוכל לחשב את אורך הגל עם העצמה המקסימלית:
\lambda_{max}=\frac{hc}{5K_bT}=\frac{6.63\times 10^{-34}js \cdot 3 \times 10^{10}cm}{5 \cdot 1.38 \times 10^{-23}\,_{j/k} \cdot 5760^o\, _{K}}=499nm

כלומר - צבע ירוק