אופרטור ההטלה

נתון המילטוניאן H עם פונקציות עצמיות (מנורמלות) \psi_n(x)  ומצבים עצמיים E_n  בהתאמה (הניחו שאין ניוון).
נגדיר אופרטור הטלה  \hat P_n , כך שפעולתו מוגדרת כך:
 \hat P_n\Psi(x)=\psi_n(x)\int dy\psi_n^*(y)\Psi(y)
 
  1. הסבירו מדוע \hat P_n  , נקרא אופרטור ההטלה.
    רמז: פרקו את פונקצית הגל, עליה מופעל \hat P_n , לפונקציות עצמיות.
  2. האם  \hat P_n הרמיטי?
  3. האם  \hat P_n הפיך?
  4. הראו כי:  \sum_n \hat P_n=I (I הוא אופרטור היחידה).
  5. הראו כי:  \hat P_n\hat P_m=\delta_{nm}\hat P_n\delta_{nm} היא דלתא של קרוניקר).
  6. הראו כי:  \sum_n E_n \hat P_n=\hat H.