הרמיטיות של אופרטורים

נניח כי \hat{A} הוא אופרטור הרמיטי.  נסמן ב-\psi_i(x) את הוקטורים העצמיים של \hat{A}.  נסמן ב-\alpha_i את הערכים העצמיים בהתאמה.
הוקטורים העצמיים מהווים סט אורתונורמלי שלם כך שכל פונקציית גל ניתנת לרישום ע"י:
 \phi(x)=\sum_i b_i\psi_i(x).
1. הראו כי אם  \phi(x)  מנורמלת אז:

 \sum_i |b_i|^2=1.
2. הראו כי:
 <\hat{A}>= (\phi,  \hat{A} \phi)=\sum_i \alpha_i|b_i|^2.

3. הראו שההמילטונין,  \hat{H} , הינו אופרטור הרמיטי.