מדרגת פוטנציאל עם ספין חצי

חלקיק עם ספין 1/2 מפוזר ממדרת פוטנציאל חד-מימדית (בכיוון ציר x) שעליה פועל גם שדה מגנטי B בכיוון ציר z. ההמילטוניאן של החלקיק הוא לכן:
H=\frac{p_x^2}{2m}+V(x)
כאשר
V(x)=\left{0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \  x<0 \\ V_0+aS_z\ \ \ \ x>0

א) למה שווה המקדם a? איזה מרכיב של הספין חילופי עם ההמילטוניאן? מה זה אומר על הספינורים העצמיים של ההמילטוניאן? אם מסמנים את הספינורים העצמיים הללו על ידי |\chi _1> ו- |\chi _2>, אז מצב הספין הכללי של החלקיק הוא \psi_1|\chi _1>+\psi_2|\chi _2>. רשמו את משוואות שרדינגר הנפרדות עבור שתי הפונקציות \psi_1(x),\ \psi_2(x).
ב) שולחים חלקיק חופשי משמאל, עם אנרגיה ששווה ל- E=V_0=\hbar^2k^2/2m, ועם \psi_2(x)=0. מהם מקדמי ההעברה וההחזרה במקרה זה? מהן התשובות כאשר \psi_1(x)=0?
ג) שולחים משמאל חלקיק אחרי שמדדו עבורו את מרכיב x של הספין וקיבלו \hbar/2. מהו הספינור הנכנס? השתמשו בתוצאות הקודמות כדי לרשום את הספינור המוחזר ואת הספינור העובר ימינה (רמז: זהו את \psi_1(x),\ \psi_2(x) עבור הגל הנכנס משמאל, ואז השתמשו בתוצאות הקודמות לזיהוי מלא של פונקציות אלה).

(מבחן 2007, מועד ב')