פולינומי לג'נדר והרמוניות ספריות

הפונקציה היוצרת של פולינומי לג'נדר היא:
T(w,s)=\left(1-2ws+s^2\right)^{-1/2}=\sum_{l=0}^{\infty}{P_l(w)s^l}
א. חשבו את P_0(w) ואת P_1(w) על ידי גזירה של הפונקציה היוצרת.
ב. השתמשו בפונקציה היוצרת על מנת לקבל את יחס הרקורסיה:
 (l+1)P_{l+1}(w)=(2l+1)wP_{l}(w)-lP_{l-1}(w).
רמז: שימו לב לקשר בין \frac{dT}{ds}  לבין T.
ג. באמצעות סעיף ב' חשבו את P_2(w) ואת P_3(w).
ד. קבלו את Y_{2,-1}(\cos\theta,\varphi) ואת Y_{3,0}(\cos\theta,\varphi).
השתמשו בתוצאות סעיף ג' ובקשרים:
Y_{l,m}(\cos\theta,\varphi)=(-1)^{|m|}\sqrt{\frac{(2l+1)}{4\pi}\frac{(l-|m|)!}{(l+|m|)!}}P_{l,|m|}(\cos\theta)e^{im\varphi}
P_{l,m}(w)=\sqrt{(1-x^2)^m}\frac{d^m}{dx^m}P_l(x)