אוסילטור הרמוני דו מימדי

פוטנציאל של אוסילטור הרמוני דו מימדי הוא מהצורה V=\frac{1}{2}m\omega^2\left(x^2+y^2\right).
עבור פוטנציאל מסוג זה ניתן להשתמש בשני צמדים של אופרטורי העלאה והורדה הנתונים על ידי:
a=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha x+i\frac{p_x}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ b=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\alpha y+i\frac{p_y}{\alpha \hbar}\right)\ ;\ \alpha=\sqrt{\frac{mw}{\hbar}}
(והצמודים ההרמיטיים שלהם)
א) בטאו את ההמילטוניאן בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה וחשבו את האנרגיות העצמיות. מהי רמת הניוון של המערכת ?
ב) בטאו את התנע הזוויתי L_z בעזרת אופרטורי ההעלאה וההורדה. הוכיחו שהביטוי שהתקבל הרמיטי. השתמשו ביחס החילוף בין אותם אופרטורים כדי לחשב את יחס החילוף [L_z,H].
ג) עבור רמת האנרגיה המתאימה לניוון מסדר שני, מצאו וקטורים עצמיים המשותפים לאופרטורים L_z,H. הראו כי מצבים אלה אינם מנוונים ביחס לאופרטור  L_z.