אופרטורי סולם

נתון ההמילטוניאן
H=E_0a^\dagger a + K(a+a^\dagger)
כאשר ידוע כי [a,a^\dagger]=\beta^2  ו- [a,a^\dagger]=\beta^2 הוא קבוע ממשי וחיובי ו- E_0,K ממשיים.
א) מצאו מקדמים מרוכבים u,v כך שהאופרטורים b=ua+v,\ b^\dagger=u*a^\dagger +v* מקיימים [b,b^\dagger]=1 וכן מתקיים H=E_1b^\dagger b + E_2. בטאו את E_1,E_2 באמצעות
E_0,V,\beta.
ב) השתמשו בידע על אוסילטור הרמוני כדי לזהות מהם הערכים העצמיים האפשריים של H.
ג) רשמו במפורש את אלמנטי המטריצה של a בין המצבים העצמיים של H. בפרט, מהו הממוצע של (a+a^\dagger) בכל מצב עצמי כזה ?

(מבחן 2004, מועד ב')