תמונת הייזנברג - אופרטורי סולם

בתמונת הייזנברג התלות בזמן של האופרטור A ניתנת על ידי:
A_H(t)=U^\dagger (t)AU(t)
             (כאשר: U(t)=e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}  )
1. הראו שההמילטוניאן של אוסילטור הרמוני הוא:
  H=\hbar \omega\left(a^\dagger a+1/2\right)       
כאשר אופרטורי הסולם הפועלים על המצבים העצמיים של ההמילטוניאן (|n> ) מקיימים:
a|n>=\sqrt{n}|n-1>
a^\dagger |n>=\sqrt{n+1}|n+1>
העזרו בהגדרת אופרטור המספר:
N=a^{\dag}a
2.  בעזרת הזהות:   Ae^B=e^\lambda e^B A המתקיימת עבור [A,B]=\lambda A, הוכיחו כי: 
 a e^{-\frac{i}{\hbar}Ht}=e^{-i\omega t} e^{\frac{-i}{\hbar}Ht}a ומצאו את a_H(t)=U^\dagger (t)aU(t)