גוף מחליק

נפתור את השאלה ע"י חישוב העבודה שנעשתה על הגוף, והשוואת עבודה זו להפרש האנרגיה הקינטית. על הגוף פועלים שלושה כוחות: הכובד (mg), הנורמל (N), והחיכוך (f).
הנורמל תמיד ניצב לתנועה, ולכן לא מבצע עבודה.
  1. בקטע המעגלי (A-B) כיוון כוח הכובד הוא כלפי מטה, והחלק הרלוונטי מכוח זה (המקביל לכיוון התנועה) הוא: mg\cos\theta
    כיוון כוח החיכוך הוא תמיד נגד כיוון התנועה, וגודלו משתנה על פי הנוסחא שניתנה לנו בשאלה. המסלול שלנו הוא לאורך קשת המעגל, ולכן : ds=Rd\theta
    לסיכום, סך העבודה שנעשתה על הגוף בקטע המעגלי היא:

    W=\int_0^{\frac{\pi}{2}} (mg\cos\theta-\frac{b}{\pi^4}\theta^3)Rd\theta=\left.\left(mg\sin\theta-\frac{b}{\pi^4}\frac{\theta^4}{4}\right)R\right|_0^{\frac{\pi}{2}}=mgR-\frac{b}{\pi^4}\frac{\pi^4}{64}=mgR-\frac{b}{64}R

    נשאלנו מה יהיה המקדם b כך שמהירות בנקודה B תהיה זהה למהירות בנקודה A, כלומר שסך העבודה שנעשתה על הגוף היא אפס. התשובה היא כש b=64mg.
  2. בסעיף זה שואלים, עם המקדם b שמצאנו, מה יהיה המרחק B-C. למעשה, אם המקדם b הוא שמצאנו, אנחנו יודעים שלא התבצעה על הגוף עבודה בקטע המעגלי, ולכן מהירותו בנקודה B שווה למהירותו ההתחלתית v0 מהנקודה A!
    אז השאלה היא מה המרחק שיעבור גוף עם מהירות התחלתית v0, כאשר פועל עליו חיכוך עם המקדם \mu
    מכיוון שהגוף מונח על השולחן, ולא מאיץ בכיוון האנכי, הנורמל שווה לכוח הכובד (N=mg). ולכן החיכוך הקינטי הוא:
    f_k=\mu N=\mu mg
    ורק החיכוך הקינטי עושה עבודה (הכובד והנורמל אנכים לתנועה). נחשב את העבודה לאורך קטע באורך L.
    W=\int_0^L-\mu mg dx = -\mu mgL
    עכשיו נוסיף את התנאי שהמהירות הסופית היא 0, ובעזרת משפט העבודה-אנרגיה :
    m\frac{0^2}{2}-m\frac{v_0^2}{2}=W=-\mu mgL\\L=\frac{v_0^2}{2\mu g}
    וזו התשובה לשאלה. כדאי לבדוק שהיחידות מסתדרות.