תנועה מעגלית זקופה

שאלה זו מערבת בין חישובי עבודה ואנרגיה לבין כוחות ותאוצה רדיאלית.
  1. הנקודה הקריטית לתנועה מעגלית זקופה היא בקצה העליון. הכוחות הפועלים על הגוף בנוקדה זו הם T וmg, שניהם כלפי מטה. על מנת שתנועה כזו תהיה אפשרית, יש לדרוש שT בנקודה זו יהיה גדול או שווה לאפס (חבל רק מושך, ולא דוחף. אם T שלילי זה אומר שהחבל היה אמור לדחוף כדי להיות בנקודה זו, מה שבלתי אפשרי, ואומר לנו שהגוף לא מגיע לקצה העליון של התנועה). נרשום את משוואת הכוחות:

    ma_r=T+mg\\m\frac{V^2}{l}=T+mg

    אבל אמרנו שT צריך להיות גדול או שווה לאפס, ולכן:

    V^2=\frac{Tl}{m}+gl\\V^2\ge gl\\V\ge\sqrt{gl}

    כאשר בחרנו את השורש החיובי בלי הגבלת הכלליות. (זו הבחירה בין תנועה עם כיוון השעון לנגד כיוון השעון).
  2. בשאלה זו נתון לנו כי: V_0=2\sqrt{gl} ואנחנו יודעים מסעיף 1 שאכן תתקיים תנועה מעגלית זקופה. עכשיו עלינו לחשב את הזווית בה T שווה ל Tmax . נרשום את משוואת הכוחות בזווית תטא:

    ma_r=T+mg\cos\theta\\ m\frac{V^2}{l}=T_{max}+mg\cos\theta

    אבל בשביל למצוא את תטא ממשואה זו, צריך לדעת את המהירות. נחשב את המהירות על ידי חישוב העבודה שנעשתה על הגוף. כוח המתיחות T תמיד היה ניצב לתנועה, ולכן לא רלוונטי. כוח הכובד mg הוא כלפי מטה. אנחנו בתנועה מעגלית, ולכן: dS=ld\theta. אם כן, נחשב את עבודת כוח הכובד:

    W_{mg}=\int_0^\theta mg\sin\theta' ld\theta'=mgl(1-\cos\theta)

    ולכן המהירות בזווית תטא היא:

    m\frac{V^2}{2}-m\frac{v_0^2}{2}=W_{mg}=mgl(1-\cos\theta) \\m\frac{V^2}{l}=2mg(1-\cos\theta)+m\frac{v_0^2}{l}

    עכשיו יש לנו שתי משוואות בשני נעלמים (תטא וv), ואפילו סידרנו את המשוואה השניה כך שתתאים לראשונה. מההצבה נקבל:

    T_{max}+mg\cos\theta=2mg(1-\cos\theta)+m\frac{v_0^2}{l}\\ 3mg\cos\theta=2mg+m\frac{v_0^2}{l}-T_{max}\\ \cos\theta=\frac{2}{3}+\frac{v_0^2}{3gl}-\frac{T_{max}}{3mg}=\frac{2}{3}+\frac{4}{3}-\frac{3.6}{3}=\frac{2.4}{3}=0.8

  3. למצוא את מהירות הגוף זה כבר פשוט, מכיוון שמצאנו את הנוסחא למהירות כתלות בזווית כבר קודם:

    m\frac{V^2}{l}=2mg(1-\cos\theta)+m\frac{v_0^2}{l}\\ V^2=2gl(1-\cos\theta)+v_0^2=0.4gl+4gl=4.4gl\\ V=\sqrt{4.4gl}

  4. זו שאלת נפילה פשוטה. רק צריך להבין את נתוניה: אם כך, משך הזמן לנפילה בתאוצת הכובד (-g) (לפי משוואות הקינמטיקה):

    y=y_0+v_{0y}t+a\frac{t^2}{2}\\ -5\frac{m}{s^2}t^2-4\frac{m}{s}t+3.8m=0 \\ t=-\frac{2}{5}s\pm\sqrt{(\frac{2}{5}s)^2+\frac{3.8}{5}s^2}\\t_1\approx 0.56s\\ t_2\approx -1.36 s

    כמובן שהתשובה היא הזמן החיובי, כלומר 0.56 שניות.