גרביטציה, משוואות אינשטיין

forum link

הטנזור המטרי

לצורך הגדרת המושג טנזור מטרי נתיחס להלן ליריעות דו מימדיות. אלמנט אורך מיוצג במרחב אוקלידי דו מימדי בקואורדינאטות קרטזיות מוגדר באופן הבא:

ds^2 \ \ = \ \ dx^2 \ + \ dy^2

בצורה קומפקטית ניתן לרשום:

ds^2 \ \ = \ \ \sum_{i,j} g_{i j}dx_{i}dx_{j}

באשר הטנזור המטרי במקרה הקרטזי הוא

g_{ij} \ \ = \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1
      \end{pmatrix}

נתיחס עתה למערכת צירים אחרת על אותה יריעה שבה יש זוית \Theta_0 בין ציר x לציר y. ממשפט הקוסינוסים נקבל:

ds^2 \ \ = \ \ dx^2 \ + \ dy^2 \ + \ 2\cos\Theta_0 dxdy

כך שהטנזור המטרי הוא:

g_{ij} \ \ = \ \ \begin{pmatrix} 1 & \cos\Theta_0 \\
      \cos\Theta_0 & 1 \end{pmatrix}

טרנספורמציות 

ראוי להדגיש שאם מחשבים את המרחק בין שתי נקודות על היריעה  (x,y)  מקבלים אותה תוצאה בכל מערכת צירים. במילים אחרות הגודל ds הוא "אינוריאנטי". עבור קואורדינטות "אורתוגונליות" הטנזור המטרי הוא אלכסוני ds^2 = dx^2 + dy^2 . טרנספורמצית צירים ששומרת על אורתוגונליות נקראת "סיבוב מערכת צירים". בהמשך נגדיר "מרחק" בין שתי נקודות במערכת צירים   (x,t) בצורה  d\tau^2 = dt^2 - dx^2. טרנספורמציה ששומרת על צורתו של הטנזור המטרי במקרה כזה נקראת "טרנספורמצית לורנץ":

x' \ \ = \ \ \cosh(\tilde{\beta})x \ - \
      \sinh(\tilde{\beta})t
t' \ \ = \ \ \cosh(\tilde{\beta})t \ - \
      \sinh(\tilde{\beta})x

או בנוטציות מקובלות יותר

x' \ \ = \ \ \gamma \ (x-\beta t)
t' \ \ = \ \ \gamma \ (t-\beta x)
\gamma \ \ \equiv \ \ (1-\beta^2)^{-1/2}

טנזור מטרי של מרחב עקמומי

הדוגמה הכי פשוטה למרחב עקמומי היא יריעה כדורית:

ds^2 \ \ = \ \ R^2d\theta^2 \ + R^2\sin^2\theta d\varphi^2

כך שהטנזור המטרי הוא:

g_{ij} \ \ = \ \ \begin{pmatrix} R^2 & 0 \\ 0 &
      R^2\sin^2(\theta) \end{pmatrix}

נוח להגדיר קואורדינטת מרחק מהקוטב הצפוני   r = R\sin\theta.
הביטוי עבור אלמנט האורך מקבל את הצורה

ds^2 \ \ = \ \ \frac{dr^2}{1-Kr^2} \ + \ r^2 d\varphi^2

באשר העקמומיות היא

K\ \ = \ \ \frac{1}{R^2}

curvature


ההכללה למרחב תלת מימדי, בקואורדינטות כדוריות, היא

ds^2 \ \ = \ \ \frac{dr^2}{1-Kr^2} \ + \ r^2 \left( d\theta^2
      \ + \sin^2\theta d\varphi^2\right)

המקרה K=0 מתאר מרחב שטוח.
המקרה K>0 מתאר מרחב עם עקמומיות חיובית.
המקרה K<0 מתאר מרחב עם עקמומיות שלילית.

כדאי לשים לב: קו ישר על פני יריעה כדורית הוא למעשה מעגל גדול. סכום הזויות במשולש שמציירים על פני יריעה כדורית הוא גדול מ-180 מעלות. לעומת זאת על פני יריעה עם עקמומיות שלילית הסכום יהיה קטן מ-180 מעלות. אם נצייר עיגול על פני יריעה דו מימדית, הקשר בין השטח להיקף נקבע על ידי העקמומיות של היריעה. אם יש לנו כדור במרחב תלת מימדי, הקשר בין נפח הכדור לשטח פניו תלוי בעקמומיות של המרחב.

Curvature
Gaussian curvature
Scalar curvature
Curvature of Riemannian manifolds

טנזור מטרי של המרחב הפיסיקלי

בתורת הגרביטציה אנו רואים את המרחב כארבע מימדי:

x^{\mu} \ \ = \ \ (t,x,y,z)

את המרחק בין שתי נקודות שאחת מצויה "בעבר" והשניה "בעתיד" נגדיר בצורה הבאה:

d\tau^2 \ \ = \ \ dt^2-dx^2-dy^2-dz^2 \ \ = \ \
      \sum_{\mu,\nu} g_{\mu \nu} dx^{\mu}dx^{\nu}

כך שהטנזור המטרי הוא:

g_{\mu\nu} \ \ = \ \ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 &
      0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 &-1 &0 \\ 0
      & 0 & 0 &-1 \end{pmatrix}

המוטיבציה להגדרה של "מרחק" בצורה הזו היא  שהגודל d\tauאמור להיות מוגדר אינוריאנטית בכל מערכות היחוס. בפרט נשים לב שעבור חלקיק הנע במהירות האור מתקיים d\tau=0 לאורך המסלול, ולכן דרישת האינוריאנטיות אומרת שהאור אמור לנוע באותה מהירות בכל מערכות הייחוס. אם חלקיק נע במהירות נמוכה יותר ממהירות האור אז מתקיים d\tau^2 = dt^2-(vdt)^2 ולכן

dt \ \ = \ \ \frac{d\tau}{\sqrt{1-v^2}}

זאת נקראת תופעת "התארכות הזמן".  מכאן ברור שהמרחק הזמני d\tau בין שתי נקודות על מסלול של חלקיק למעשה מודד את הזמן שעובר במערכת החלקיק. במערכת המעבדה מודדים זמן ארוך יותר ("התארכות הזמן"). את התנועה של חלקיק במערכת המעבדה אפשר להמחיש כמתואר בציור הבא:

fg

הטנסור המטרי של רוברסטון-וולקר

הטנסור המטרי שמתאר מרחב פיסיקלי בעל עקמומיות K הוא

d\tau^2 \ \ = \ \ dt^2 \ \ - \ \ a(t)^2 \left[
      \frac{dr^2}{1-Kr^2} \ + \ r^2 \left( d\theta^2 \ + \sin^2\theta
      d\varphi^2\right)\right]

בביטוי זה אפשר לכייל את יחידות המרחק כך שברגע מסוים (ההווה) מקדם הסקאלה יהיה  a(t_0)=1.
אם K=0 אנו מקבלים חזרה את הביטוי הרגיל שמתאר מרחב שטוח ("תורת היחסות הפרטית").

The Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker metric

משוואת אינשטיין.

ניוטון סבר שהתנועה של כדור הארץ סביס השמש נובעת מכוח שהשמש מפעילה על כדור הארץ. אם נשתמש ביחידות שבהם קבוע הגרביטציה שווה לאחד, אז "חוק הגרביטציה העולמי" של ניוטון אומר למעשה שהשמש יוצרת במרחב פוטנציאל

V(r) \ \ = \ \ -\frac{M}{r}

באנלוגיה למשוואת פואסון-לפלס באלקטרוסטטיקה אנו מצפים שפוטנציאל הגרביטציה יקיים את המשוואה הבאה:

\nabla^2 V \ \ = \ \ -4\pi \rho_M

באשר\rho_M היא צפיפות המסה במרחב.

אינשטיין ראה בגרביטציה תופעה גאומטרית. מה שמסביר את תנועת כדור הארץ זה לא "כוח גרביטציה" בגין קיומו של פוטנציאל V(x), אלא העקמומיות של המרחב אשר משתקפת בטנזור המטרי g_{\mu \nu}(x). משוואת אינשטיין היא

G_{\mu \nu}=8\pi T_{\mu \nu}

באשר אגף ימין הוא טנזור צפיפות האנרגיה שמביע את צפיפות החומר ביקום, ואגף שמאל הוא טנסור העקמומיות של אינשטיין שמוגדר באמצעות הטנסור המטרי. במילים אחרות המסה "מעקמת" את המרחב. לפתור את משוואת אינשטיין זה אומר להניח פיזור מסוים של מסה (לדוגמה מסה נקודתית), ואז למצוא מתוך המשוואה את הטנזור המטרי g_{\mu \nu}(x) שמתאר את המרחב (ראה דוגמאות בהמשך). כאשר האפקט הגריבטציוני הוא חלש אפשר להראות שהפתרון של משוואת אינשטיין הוא

g_{00}(x) \ \ \approx \ \ 1+2V(x)

באשר V(x) הוא הפתרון של משוואת פואסון-לפלס, ז"א הפוטנציאל שמופיע בתאוריה של ניוטון. במקרה כזה אפשר להראות שמשוואות התנועה של חלקיק במרחב מקיימות בקרוב טוב את "החוק השני של ניוטון". בשדה גרביטציה חלש שתי התאוריות מתלכדות.

טנזור צפיפות האנרגיה

אם נניח שהחומר ביקום הוא כמו נוזל המאופין בצפיפות מסה \rho_M, לחץ p, ומהירות u, אז הביטוי לטנסור צפיפות האנרגיה הוא

T_{\mu \nu} \ \ = \ \ (\rho_M + p) u_{\mu}u_{\nu} + p g_{\mu
      \nu}

אם הנוזל במנוחה אז הביטוי המתקבל הוא פשוט ביותר:
 
T_{\mu \nu} \ \ = \ \ \left( \begin{matrix} \rho & 0
      & 0 & 0 \\ 0 & -p & 0 & 0 \\ 0 & 0 &
      -p & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -p \end{matrix} \right)

התרמודינמיקה מספקת קשר בין הלחץ לבין צפיפות המסה. במקרים פשוטים היחס הוא לינארי:

p_M \ \ = \ \ w \rho_M

לדוגמה, במקרה של קרינה w=1/3. להלן נתיחס למושג "אנרגיה אפלה" שמאופינת על ידי משוואת מצב עם w=-1. מבחינה היסטורית אינשטיין ראה שאפשר להוסיף למשוואה שלו איבר "קוסמולוגי" מהצורה  \Lambda g_{\mu \nu}. איבר כזה כמעט לא משפיע על הפתרון של בעיית קפלר, אבל יש לו חשיבות כשמנסים לפתור את משוואות אינשטיין עבור היקום כולו: אינשטיין רצה שהפתרון יהיה סטאטי. אפשר לבלוע את האיבר הזה לתוך ההגדרה של טנזור צפיפות האנרגיה. לשם כך עלינו להניח שהיקום מלא באנרגיה אפלה שהצפיפות והלחץ שלה הם

 \rho_{\Lambda} \ \ = \ \ \frac{1}{8\pi}\Lambda
p_{\Lambda} \ \ = \ \ - \frac{1}{8\pi}\Lambda

האינטרפטציה המקובלת של "האנרגיה האפלה" היא קוונטית: היא משקפת את הפלקטואציות של הואקום.

המרחב סביב מסה נקודתית

שוורצשילד הציג פתרון למשוואת איינשטיין עבור מסה נקודתית. הטנזור המטרי הוא

d\tau^2 \ \ = \ \ \left(1-\frac{r_{s}}{r}\right)dt^2 \ \ - \
      \ \left[ \frac{dr^2}{\left(1-\frac{r_{s}}{r}\right)} \ \ + \ \ r^2
      \left( d\theta^2 \ + \sin^2\theta d\varphi^2\right)\right]

באשר רדיוס שוורצשילד נקבע על ידי המסה (בבטוי להלן כללנו את קבוע הגרביטציה ואת מהירות האור):

r_s \ \ = \ \ \frac{2G}{c^2}M

נשים לב שמתקיים הקשר הצפוי מראש בין הטנסור המטרי לפוטנציאל של ניוטון

g_{00}(x) \ \ = \ \ 1- 2\frac{M}{r}

כפי שכבר הסברנו, "משוואות התנועה" של חלקיק שנמצא במרחב נקבעות בתאוריה של ניוטון על ידי הפוטנציאל הגרביטציוני, ובתאוריה של אינשטיין על ידי הטנסור המטרי. מחוץ לרדיוס שוורצשילד, איפה שהפוטנציאל הוא "חלש", משוואות התנועה שנגזרות מהפתרון של שוורצשילד דומות למשוואות התנועה של ניוטון: זה אומר שמקבלים מהם תנועה קפלרית, כמו תנועת כדור הארץ במרחב סביב השמש. להלן נתאר מה קורה כשמתקרבים לרדיוס שוורצשילד - רדיוס זה מגדיר את "אופק הארועים" שמעבר אליו לא ניתן "לראות".

את אפשרות התנועה של חלקיק במרחב אפשר להמחיש באמצעות "קונוסים". בקואורדינטות של שוורצשילד ככל שמתקרבים לאופק הארועים כך מהירות האור נמוכה יותר:

c(r) \ \ = \ \ 1- \frac{r_s}{r}

מנקודת מבט של צופה חיצוני כדור שנזרק לכיוון של חור שחור לעולם לא יחצה את האופק שלו. אפילו אם הכדור נע במהירות שקרובה למהירות האור זמן ההגעה לרדיוס שוורצשילד הוא אינסופי:

t \ \ = \ \ \int_{r_s}^{r} \frac{dr'}{c(r')} \ \ = \ \
      \infty

אבל למעשה מבחינה מתמטית שום דבר מיוחד לא קורה באופק. אם עוברים למערכת היחוס של הכדור מתברר שהזמן שלוקח לחצות את האופק הוא סופי. נניח לדוגמה שהכדור נע בחצי ממהירות האור. במקרה כזה הזמן להגיע לרדיוס שוורצשילד הוא:

\tau \ \ = \ \ \int_{r_s}^{r} \sqrt{ \left( 1- \frac{r_s}{r}
      \right) \left[ \frac{dr}{(1/2) c(r)} \right]^2 \ \ -\ \
      \frac{dr^2}{1- \frac{r_s}{r}}} \ \ \ = \ \ \ \sqrt{3}
      \int_{r_s}^{r} \frac{dr'}{\sqrt{c(r')}} \ \ \ < \ \ \ \infty

למעשה שום דבר מיוחד לא קורה לצופה שחוצה את אופק הארועים. אנלוגיה: בנהר שהולך וצר מהירות הזרימה הופכת להיות גדולה יותר ככל שמתקדמים, וקיימת נקודה מסוימת שממנה והלאה שחיינים לא יכולים לחזור. על מנת לשקף את הגאומטריה של המרחב נהוג להשתמש בקואורדינת "זמן" גלובאלית, כמודגם בציור להלן. מתחת לרדיוס שווארשילד כיוון התנועה הוא בהכרח כלפי המרכז (רדיוס קטן יותר = עתיד).

fg


חור שחור

"חור שחור" הוא כוכב שהרדיוס שלו קטן מרדיוס שווארצשילד. במילים אחרות: מנקודת מבט של צופה חיצוני הכוכב נמצא אחרי אופק הארועים. חלקיקים ואור לא יכולים להימלט משדה הגרוויטציה של חור שחור. זה משתמע מהדיון בפתרון של שווארצשילד. על מנת להבין טוב יותר את הטענה הזאת, ננסה לפרש את רדיוס שוורצשילד בצורה פשוטה יותר. נניח שיש לנו טיל המשוגר לחלל מכדור הארץ. הטיל מושפע משדה הכבידה של כדור הארץ, ולכן נדרשת מהירות מילוט מסוימת, שתאפשר לגוף להשתחרר משדה הכבידה. במסגרת המכניקה הניוטונית אפשר למצוא את מהירות המילוט מתוך המשוואה

 \frac{mv^2}{2}=\frac{GMm}{r}

באשר r הוא רדיוס הכוכב, M היא מסת הכוכב, ובאשר m היא מסת הטיל. נקבל

 v_{e}=\sqrt{\frac{2GM}{r}}

עכשיו אפשר לשאול עבור איזה רדיוס מהירות המילוט שנדרשת שווה למהירות האור. מה שנקבל זה את רדיוס שווארצשילד. לפי ניוטון, אם רדיוס הכוכב קטן מרדיוס שווארצשילד החללית זקוקה למהירות יותר גדולה ממהירות האור כדי לברוח. לפי אינשטיין, אי אפשר להימלט מכוכב כזה. מזה כביכול נובע שאי אפשר לראות חורים שחורים. למעשה סטיבן הוקינג הראה ב-1974, שחורים שחורים פולטים קרינה. שחרור זה של אנרגיה, שגורם לירידה במסה של החור השחור, נקרא קרינת הוקינג.

http://en.wikipedia.org/wiki/Black_hole
http://en.wikipedia.org/wiki/Schwarzschild_coordinates
http://en.wikipedia.org/wiki/Eddington-Finkelstein_coordinates
http://en.wikipedia.org/wiki/Event_horizon
http://en.wikipedia.org/wiki/Hawking_radiation