מודל האטום של בוהר

forum link

מודל האטום של נילס בוהר הוצג ב-1913, בהמשך לעבודות של איינשטיין ופלאנק על הקרינה האלקטרומגנטית. מודל זה מהווה גרסא קוונטית פרימיטיבית של "המודל הפלנטארי" אשר פורסם על ידי רתרפורד בתחילת 1911. למודל הפלנטארי של רתרפורד היו מספר בעיות, העיקרית שבהן הייתה שהאלקטרונים הסובבים את הגרעין, ככל מטען מואץ, אמורים לפלוט קרינה אלקטרומגנטית (פוטונים) ואיבוד האנרגיה בדרך זו תגרום להם לנוע בספיראלה ולהתנגש בגרעין תוך זמן קצר. מודל האטום של בוהר נתן באור ליציבות של האטום, והסבר לנוסחת רידברג שמתארת את ספקטרום התגובה של האטום ("קווי בליעה / פליטה"). המודל נתן השראה לדה-ברולי לנסח ב-1924 את התזה שהתנועה של חלקיקים מאופינת ב"אורך גל". התזה של דה ברולי נתמכה על ידי ניסוי ההתאבכות שביצעו דויסון וגרמר ב-1927. התאור הקוונטי המודרני של אטום המימן מבוסס על משוואת שרדינגר שהוצעה ב-1926 על מנת לתאר את הדינמיקה "הגלית" של החלקיקים.

אנליזה קלאסית

נניח שהאלקטרון בעל מסה m נע במהירות v במסלול מעגלי בעל רדיוס r.
האלקטרון מוחזק במסלולו על ידי כוח הנובע מחוק קולון המהווה כוח צנטריפטלי.
להלן \alpha מייצג את קבוע חוק קולון (כולל מטען האלקטרון).
החוק השני של ניוטון הוא:

m \frac{v^2}{r} = \frac{\alpha}{r^2}

מכאן נובע קשר בין הרדיוס למהירות של התנועה:

r = \frac{\alpha}{mv^2}

בהתאם האנרגיה הפוטנציאלית של האלקטרון היא:

V = -\frac{\alpha}{r} = -mv^2

מכאן האנרגיה הכוללת של האלקטרון היא:

E \ = \ \frac{p^2}{2m} +V \ = \ \frac{1}{2} mv^2 - mv^2 \ = \
      - \frac{1}{2} mv^2

תנאי הקוונטיזציה

נדרוש שהיקף המסלול יהיה שווה לאורך הגל שלו כפול מספר שלם:

2\pi r = n\lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,3,...

נזכור שאורך הגל על פי דה-ברולי נקבע על ידי המהירות:

\lambda \ \ = \ \ \frac{2\pi}{mv}

נקבל את תנאי הקוונטיזציה

mv r \ = \ n \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ n=1,2,3,...

לעיתים מנסחים את תנאי זה בצורה הבאה: L=integer

פרשנות זו מאוד פופלרית בספרי לימוד אלמנטריים, אבל בפרספקטיבה היסטורית ספק אם יש לה משמעות. לדוגמה, מצב היסוד הוא למעשה בעל תנע זויתי אפס, בניגוד למה שמשתמע ממודל בוהר.

ספקטרום האנרגיה

מהאנליזה הקלאסית נבטא את רדיוס המסלול באמצעות המהירות, ונציב בתנאי הקוונטיזציה. נקבל שהמהירויות "המותרות" של האלקטרון הן:

v_n \ \ = \ \ \frac{\alpha}{n}

ולכן האנרגיות "המותרות" הן

E_n \ \ = \ \ -\frac{\alpha^2 m}{2n^2}

אם אנו עושים ספקטרוסקופיה אז מה שנראה זה הפרשי תדירויות. אם האלקטרון נמצא ברמה גבוהה אז בקרוב

\omega = E_{n+1} - E_{n} \approx \frac{\alpha^2 m}{n^3}

מיד רואים שזה בהתאמה לפתרון הקלאסי:

\omega \,\, = \,\, \frac{v_n}{r_n} \,\, = \,\,
      \frac{1}{\alpha} m v_n^3

נשים לב שהספקטרוום הקוונטי בניגוד לזה הקלאסי מקוונטט - לא כל תדירות אפשרית.

ניסוי פרנק-הרץ

מודל בוהר מסביר את הספקטרוסקופיה של אטום המימן באמצעות ההנחה שהאנרגיה של האלקטרון מקוונטטת. התדירויות שאליהן מגיב האטום נקבעות לפי הפרשי האנרגיה של המעברים האפשריים בין רמות האנרגיה. בהסבר כזה האלקטרון הוא "קוונטי" ואל השדה האלקטרומגנטי ניתן להתיחס כאוביקט "קלאסי". לכאורה אפשר אולי לנסות למצוא תאוריה שבה האלקטרון הוא "קלאסי" ושהקפיצות האנרגטיות נובעות מהקוונטיזציה של השדה האלקטרומגנטי.

בהרצאה הבאה נסביר שהאנרגיה של תנודה אלקטרומגנטית בתדר \Omega יכולה להימסר לאלקטרון אך ורק בקוונטות של \hbar \Omega. זאת היתה ההנחה של פלאנק ושל אינשטיין על מנת להסביר את הקרינה של גוף שחור ואת האפקט הפוטו-אלקטרי. ננסה להשתמש בהנחה זו על מנת להסביר את הספקטרוסקופיה של אטום המימן. נניח שהאטום יכול להגיע באמצעות בליעת קרינה לאנרגיה E_n. באנרגיה כזאת תדירות התנועה של האלקטרון היא  \omega(E_n). תנאי הרזוננס הקלאסי אומר שהאטום במצב כזה יכול לבלוע אנרגיה בתדירות \Omega \sim \omega(E_n) . לכן האנרגיה הבאה שאליה הוא יכול להגיע באמצעות בליעת קרינה היא E_{n+1}=E_n+\hbar\omega(E_n). אם נשתמש בכלל זה באופן רקורסיבי, החל ממצב היסוד, נקבל סט של אנרגיות שבהם האלקטרון יכול להמצא באופן מעשי כאשר מאירים אותו באמצעות "אור לבן" שכולל את כל התדירויות. בפועל רק התדיריות \Omega \sim \omega(E_n) תיבלענה. זה נותן הסבר אלטרנטיבי לספקטרוסקופיה של האטום שאינו דורש את הנחת הקוונטיזציה של בוהר ודה-ברולי.

ניסוי פרנק-הרץ נותן הוכחה ישירה לקוונטיזציה של אנרגית האלקטרון. את השדה האלקטרומגנטי משאירים מחוץ למשחק. אם האנרגיה של האלקטרון היא מקוונטטת נובע מכך שנדרשת אנרגית עירור מינמלית על מנת ליצור מעברים בין רמות אנרגיה באטום. את האנרגיה המינמלית הזו אפשר למדוד בניסוי כמתואר להלן:

FH

האינדיקציה לכך שהאלקטרונים המואצים יכולים לעורר את אטומי הכספית, היא נפילה בזרם כאשר מתח ההאצה עובר ערך סף מסוים. היתרון העיקרי של שימוש בגז של אטומי כספית הוא המסה הגדולה שלהם: הרתע בעת התנגשות של אלקטרון באטום הוא קטן, ולכן הערך של מתח הסף משקף נאמנה את האנרגיה המינימלית שנדרשת לעירור האטום.

FH


אורביטלים אטומיים

האטום של בוהר מבוסס על תמונה חד-מימדית שגויה של תנועת האלקטרון סביב הגרעין. המודל מניח שהתחום המרחבי ("האורביטל") שבו נע האלקטרון הוא טבעתי.  בפתרון "הנכון" מתברר שהאורביטלים נראים אחרת: יש אורביטלים כדוריים (s), פולריים (p), ואחרים (d,f,...). כדי להבין את הבעיה עם מודל בוהר כדי לשים לב שמבחינה מתמטית האנליזה של "חלקיק בקופסא חד מימדית" זה כמו ניתוח תנודות של מיתר, ובדומה לכך "האלקטרון במודל בוהר" זה כמו ניתוח תנודות של טבעת. במילים אחרות במודל בוהר מתיחסים לאופי הגלי של האלקטרון כאילו הוא בא לכדי ביטוי רק לאורך המסלול הקלאסי. באנליזה הקוונטית המלאה, האלקטרון באטום יוצר "עננה" מסביב לגרעין. לכן האנליזה דומה לניתוח של תנודות האוויר בתוך תיבת תהודה כדורית. אילו האטום היה דו-מימדי, האנליזה היתה דומה לניתוח תנודות של ממברנת תוף. למעשה זה "נס" שמודל בוהר נותן תוצאות נכונות. אם פוטנציאל המשיכה בין האלקטרון לפרוטון לא היה 1/r המודל היה נותן תוצאות שגויות.

מודים של ממברנת תוף (המקרה הדו-מימדי):

ao


אורביטליים אטומיים הם כמו מודים של תיבת תהודה כדורית (המקרה התלת מימדי):
ao


מערכת היסודות

המכניקה הקוונטית נותנת פרשנות למבנה מערכת היסודות של מנדליב. הפרשנות מתבססת על ההנחות הבאות:
po