ספין וקיטוב של אלקטרונים ופוטונים

forum link
forum link

קיטוב של גל אלקטרומגנטי

ראשית, נתאר את קיטוב האור במסגרת התיאור הקלאסי שלו. על-פי התיאור הגלי, הקרינה האלקטרומגנטית הינה התקדמות של הפרעה מחזורית-הרמונית (תנודות) בשדה החשמלי והמגנטי. לצורך פישוט תיאור תופעת הקיטוב, נתייחס לגל האלקטרו-מגנטי כהתקדמות תנודות של שדה חשמלי. נגדיר את כיוון "הקיטוב הלינארי" ככיוון התנודות של השדה החשמלי. כיוון הקיטוב הלינארי של האור תמיד מאונך לכיוון ההתקדמות של האלומה.

wave

ניתן להעביר את האור דרך מקטב: הרכיב של השדה החשמלי שבכיוון המקטב יעבור, והרכיב המאונך "יאופס" (ראה ציור). כך נקבל גל אור ובו שדה חשמלי הנע בכיוון אחד בלבד (מקוטב). אם ננסה להעביר את האור דרך מקטב נוסף, מסובב ב-90 מעלות, תחסם תנועת הגל. באופו כללי יותר אם יש זוית בין שני המקטבים אז עצמת האלומה תונחת על פי הנוסחא הבאה:

\text{Intensity}(\theta'|\theta) \ = \  |\text{transmitted electric field}|^2   \ \propto \  |\cos(\theta'-\theta) |^2





פרטים נוספים על תופעת קיטוב האור: polarization.html


קיטוב של פוטונים

אם נאיר מסך, נוכל לגלות בניסוי כי האור מגיע בקוונטות (מנות) קטנות, כך שאם נחבר רמקול קטן למסך נוכל לשמוע "טיק טיק טיק". כלומר, נקבל פגיעות קצובות במקום בו היינו מצפים לפגיעה גלית רציפה במסך. אותן קוונטות נקראות פוטונים. מכאן נובע שאפשר להתייחס אל האור כאל אלומה של חלקיקים. בהתאם נשתמש בשפה הבאה כדי לתאר את הקיטוב של הפוטונים שמהם מורכבת האלומה:

פוטון מקוטב לינארית בכיוון ציר X                 |\leftrightarrow\rangle
פוטון מקוטב לינארית בכיוון ציר Y                 |\updownarrow\rangle               

פוטון מקוטב לינארית בכיוון כלשהו  |\theta\rangle=\cos\theta|\leftrightarrow\rangle+\sin\theta|\updownarrow\rangle

מצבי הקיטוב האורתוגונליים הם  90^o

אוסף מצבי הקיטוב של פוטון מהווה מרחב לינארי דו-מימדי

בקונטקסט הקוונטי אנו נאלצים להסביר את תופעת הקיטוב תוך שימוש בשפה הסתברותית: ככל שהזווית של הפוטון (השדה החשמלי) קרובה יותר לזווית המקטב, כך גדל הסיכוי של הפוטון לעבור את המקטב. בהתיחס לסופרפוזיציה הרשומה לעיל ההסתברות למעבר דרך מקטב אופקי או אנכי היא:

\text{Probability}(\leftrightarrow|\theta) \ = \ |\cos\theta |^2

\text{Probability}(\updownarrow|\theta) \ = \ |\sin\theta |^2

ובאופן כללי

\text{Probability}(\theta'|\theta) \ = \ |\cos(\theta'-\theta) |^2

קיטוב של אלקטרון

קיטוב האלקטרון שונה מקיטוב הפוטון. כאשר מעבירים אלומת אלקטרונים לא מקוטבת דרך שדה מגנטי לא אחיד היא מתפצלת לשתי אלומות מקוטבות כמתואר בציור. זה נקרא ניסוי שטרן-גרלך (הניסוי המקורי בוצע עם אטומי כסף). אנו אומרים שהאלקטרונים של האלומה העליונה מקוטבים up, בעוד שהאלקטרונים של האלומה התחתונה מקוטבים down. כמובן שאשר לסובב את המתקן ולקבל אלומות עם קיטובים אחרים, לאו דוקא up או down.

fig

אם אנו מאפשרים רק לאלומה אחת להמשיך, וחוסמים את האלומה השניה, זה אומר שיש לנו "מקטב"

fig

אם נוסיף מקטב נוסף באותו כיוון כמו המקטב הראשון אז הם ימשיכו ללא הפרעה. אך אם נסובב את המקטב השני בזוית של 180 מעלות, כל החלקיקים יחסמו. אנו רואים שבניגוד לפוטונים, כיווני הקיטוב האורתוגונליים הם 180 מעלות ולא 90 מעלות. מכאן שמדובר בסוג שונה של קיטוב. אם נציב את המקטב השני בכיוון ציר X אז 50% יעברו: זה אנלוגי לזוית של 45 מעלות עם פוטונים. אפשר לשים בטור שלושה פילטרים ולהווכח שכללי הסופרפוזיציה הם אותו דבר כמו לגבי קיטוב של אור אבל עם "חצי זוית".

הדמיית ניסוי עם  3 מכשירי שטרן-גרלך (יש ללחוץ על הכפתור הירוק Run now בכדי להתחיל את ההדמיה)
http://phet.colorado.edu/en/simulation/stern-gerlach

ספין חצי

ניתן לומר שהקיטוב היא תכונה בסיסית של החלקיק, תכונה שנקראת "ספין". הספין של האלקטרון נקרא ספין 1/2,  והספין של הפוטון נקרא ספין 1. נשתמש בשפה הבאה:

אלקטרון מקוטב בכיוון ציר Z                  |\uparrow\rangle
אלקטרון מקוטב בכיוון ציר Z-                |\downarrow\rangle 

אלקטרון מקוטב בכיוון כלשהו   |\theta\rangle =\cos\frac{\theta}{2}|\uparrow\rangle + \sin\frac{\theta}{2}|\downarrow\rangle

מצבי הקיטוב האורתוגונליים הם  180^o

אוסף מצבי הקיטוב של אלקטרון מהווה מרחב לינארי דו-מימדי

בהתיחס לסופרפוזיציה הרשומה לעיל ההסתברויות למעבר דרך מקטבים אנכיים היא:

\text{Probability}(\uparrow|\theta) \ = \ |\cos(\theta/2) |^2

\text{Probability}(\downarrow|\theta) \ = \ |\sin(\theta/2) |^2

ובאופן כללי

\text{Probability}(\theta'|\theta) \ = \ \left|\cos\left(\frac{\theta'-\theta}{2}\right)\right|^2

סוגים שונים של קיטוב

מבחינה היסטורית ההדגמה של קיטוב מסוג "ספין חצי" בוצעה לראשונה בניסוי שטרלן-גרלך. מטרת הניסוי היתה לבדוק את המומנט המגנטי של אטומי כסף. הניסוי נערך בעזרת מכשיר היורה אלומת אטומי כסף דרך מגנט שיוצר שדה לא אחיד. השדה הבלתי אחיד נוצר על ידי כך שקוטב אחד של "מגנט פרסה" רחב יותר מהקוטב השני שלו. האטומים עוברים במרחב שבין שני הקטבים. ההסחה שלהם פרופורציונלית למצב הקיטוב של המומנט המגנטי. לאחר מכן האטומים פגעו בגלאי ועל ידי כך נקבע ההתפלגות של מצב הקיטוב. תוצאת הניסוי היתה שההתפלגות התרכזה סביב שני ערכים שווים והפוכי סימן. מכאן אנו מסיקים שלחלקיקים יש "ספין 1/2".

תמונת תוצאות ניסוי שטרלן גרלך - פיצול האלומה
http://plato.stanford.edu/entries/physics-experiment/figure13.html

נסכם את המסקנה העיקרית של הדיון בנושא הקיטוב. את תופעת קיטוב האור ניתן להסביר כתופעה גלית. אך כאשר מתיחסים לאור כאל אלומה של חלקיקים (פוטונים) יש לייחס לכל פוטון דרגת חופש פנימית הנקראת "ספין1". מצבי קיטוב של פוטון (במאונך לכיוון התנועה) הם אורתוגונליים אם הם נבדלים ב-90 מעלות. גם לאלקטרונים יש קיטוב, אבל מסוג "ספין 1/2". מצבי קיטוב של ספין 1/2 הם אורתוגונליים אם הם נבדלים ב-180 מעלות.

פוטון בניגוד לאלקטרון ניתן לקטב "קיטוב לינארי" (כמוסבר למעלה) רק במאונך לכיוון תנועתו: אם התנועה בכיוון Z אז הקיטוב יכול להיות במישור XY. זה קשור לכך שהפוטון נע במהירות האור, ואין מערכת יחוס שבה הוא שרוי במנוחה. פרט לקיטוב הלינארי (שהוסבר למעלה) הפוטון יכול להיות גם במצבי קיטוב אחרים שנקראים "בורגיים" או "מעגליים" או באופן כללי יותר "אליפטיים", אבל הגדרה מדויקת של מצבי קיטוב אלה דורשת הבנה מתמטית מלאה של המושג "ספין1".

אנלוגיה לניסוי שני סדקים

נארגן את השדה המגנטי כך שהאלומה מתפצלת ולאחר מכן מתאחדת חזרה. אם כאשר החלקיק עובר דרך המכשיר הוא לא עושה אינטראקציה עם הסביבה (זה אומר אם לא "מסתכלים" עליו) אז הוא יוצא באותו מצב שבו הוא נכנס. לדוגמה, אם יש לנו אלומת חלקיקים עם מצב קיטוב |\rightarrow\rangle אז ביציאה, לאחר פיצול והתאחדות כמתואר בציור, יהיה לחלקיקים אותו קיטוב אופקי. במקרה כזה אנו אומרים שהחלקיק עבר "בו זמנית" בשני המסלולים (העליון והתחתון) והתאבך ביציאה בחזרה למצב קיטוב אופקי. את המצב של החלקיק אפשר לכתוב כסופרפוזיציה:

|\rightarrow\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}|\uparrow\rangle  + \frac{1}{\sqrt{2}}|\downarrow\rangle

fig

לעומת זאת אם "מסתכלים" על החלקיק כשהוא עובר דרך המכשיר, אז מה שמתקבל ביציאה זו תערובת של מצבי ספין. לדוגמה, אם יש לנו אלומת חלקיקים עם מצב קיטוב |\rightarrow\rangle ואנו מודדים את הקיטוב בכיוון האנכי, אז ביציאה תהיה לנו תערובת של 50% מצב UP עם 50% מצב DOWN. במילים אחרות האלומה שתצא תהיה לא מקוטבת. את זה אפשר לודא על ידי כך ששמים מכשיר מדידה נוסף ורואים שאין קיטוב בשום כיוון מדידה.

אנו רואים שיש אנלוגיה בין ניסוי שטרן-גרלך לבין ניסוי שני סדקים. כאשר אין אינטרקציה החלקיק יכול להמצא בו זמנית בשני מקומות (בניסוי שני סדקים) או בשני מצבי קיטוב (בניסוי שטרן גרלך). אולם כאשר כן יש אינטרקציה (כאשר "מסתכלים" על החלקיק) הוא נאלץ לבחור במסלול יחיד. כדי להדגיש את האנלוגיה נרשום את מצב הקיטוב בצורה

|\Psi\rangle  = c_1|1\rangle  + c_2 |2\rangle

באשר להיות במצב "1" או במצב "2"  יש לפרש על פי ההקשר. במקרה של ספין הכוונה לקיטוב UP או DOWN.
ההסתברות למדוד ספין |\uparrow\rangle היא|c_1|^2  - אנלוגי למציאת החלקיק בסדק "1"
ההסתברות למדוד ספין |\downarrow\rangle היא|c_2|^2  - אנלוגי למציאת החלקיק בסדק "2"