Ex7Solution

Solution. 7

1. De Laval nozzle

באיור ניתן לראות תרשים מנוע סילון, מצא את הפיתרון הטרנס-סוני (המתחיל תת-קולי ועובר להיות על-קולי) על פי משוואת הכוחות ההידרודינמית אותה הזכרנו בכיתה : $$\frac{\partial}{\partial t}+V \cdot \nabla $V =-\frac{1}{\rho}\nabla P-\nabla \Phi$

בהנחה כי $\nabla \Phi =0$ (אין השפעה של גרביטציה ) וכן $\rho(x) V(x) A(x) = constant$
הנח כי הצפיפות והמהירות הם פונקציות של X בלבד ולא של y & z כלומר קירוב לצינור צר
וגם $V \cdot \nabla V =V \frac{dV}{dx} = \frac{dV^2 }{2dx}$

2. The electro magnetic stress energy tensor
מספר הקווים המגנטיים (החשמליים) העוברים משטח מסויים ניתן על ידי : $B \cdot \Delta A (E \cdot \Delta A)$ כאשר $\Delta A = \Delta x \Delta y$
וצפיפות האנרגיה ליחידת נפח היא $\frac{B^2}{8 \pi}$ \frac{E^2}{8 \pi}$$
הלחץ הוא : $P_{xx} =-\frac{dE}{dV}\frac{dV}{\Delta X}$ וכן עבור y. $P_\perp =P_{xx} =P_{yy}$
כאשר כיוון הקווים הוא z .
הנח כי קיימת קופסא, אשר מצידה האחד מונחים מטענים חיוביים ומצידה השני מטענים שליליים . ראה ציור

א. בהנחה ש $E \cdot dA =constant$ הראה כי כאשר השטח dA גדל, קווי השדה "רוצים להתרחק אחד מהשני" .
ב. הראה כי אם מותחים את הקופסה ( $\Delta z$ גדל) קווי השדה "מפעילים מתח נגדי" ו "רוצים לכווץ את הקופסא בחזרה" . מהו סימנו של $P_{xx}$ ו $P_{zz}$
ג. הראה כיצד מגיעים לתוצאות הנ"ל פעם על ידי תיאור קווי השדות החשמליים ופעם נוספת על ידי תיאור של "מטענים חשמליים". ניתן להניח כי $\Delta x$ ו $\Delta y$ שואפים לאינסוף כך שקווי השדה ישרים לחלוטין.

ניתן לראות כי הביטוי המתאר את האנרגיה של המערכת הוא : $W_B=\frac{B^2}{8 \pi}A \cdot L$
כך שניתן לראות כי $\frac{dW_B}{dA}\|_{L=const.}>0$ כך שהאנרגיה עולה אם A גדל.

$\frac{dW_B}{dL}\|_{A=const.}>0$

3. חוק פראדיי
הראה כי קווי שדה מגנטי הם "כלואים" אם הם נמצאים בתווך מוליך (פלזמה למשל)

כלומר הוכח כי : $\frac{d}{dt}\iint B \cdot dA =0$

$\oint B(t+dt)dA(t+dt)-\oint B(t)dA(t)=0$
אם גודל הטבעת נשאר קבוע, נקבל:
$=\iint \frac{\partial B}{\partial t}+B \cdot \delta A$
כאשר $\delta A =\[ \frac{\vec v}{c} \times \vec{dl} \] dt$ ולכן גם $B \cdot \delta A =B \cdot \[ \frac{\vec v}{c} \times \vec{dl} \] dt$ ומכאן $B \cdot \delta A =\vec{dl} \cdot \[B \times \frac{\vec v}{c} \] dt$

במקרה של תווך מוליך, ולאחר שהחלקיקים נעים במהירות סחיפה כלשהי, מתקיים גם: $E + \frac{\vec v}{c} \times B = 0$ ולכן $E = B \times \frac{\vec v}{c}$
כך ש $B \cdot \delta A =E \cdot \vec{dl} dt$

מציבים ומקבלים :

$\[ \oint \frac{\partial B}{\c \partial t}dA+ \oint B \cdot \[\vec{dl} \times \frac{\vec v}{c}\]\]dt= \[\oint \vec E \cdot \vec{dl} \]dt$