Ex. 3



פיזור תומפסון וריילי:

נתון קפיץ במסה m ומטען q  התלוי על קפיץ (עם קבועK ). החלקיק מתנדנד בהשפעת שדה אלקטרומגנטי הנתון על ידי :  \bf{\vec{E}}=E_0 sin(\omega t)\hat z   (ראה ציור)

פתרון:
תחילה, נרשום את משוואת הכוחות:
m_e \frac{d^2 z}{dt^2} = -kz-qE= - m_e \omega_0^{ 2} z - e E_0 \sin(\omega t)

א.    חשב את האמפליטודה והתדירות של המסה.
z = \frac{e\,E_0}{m_e\,(\omega^2-\omega_0^{\,2})} \sin(\omega\,t)
ב.    חשב את הפאזה היחסית.

פתרון:
הפאזה תתהפך כאשר תדירות הגל המעורר תתהפך ותהיה קטנה / גדולה מתדירות הקפיץ.
כלומר פאזה יחסית של  \pi במעבר.

ג.    חשב את התאוצה. 
\dd z =\omega^2 z = \frac{e\, \omega^2\, E_0}{m_e\,(\omega^2-\omega_0^{\,2})} \sin(\omega\,t)

ד.    חשב את עצמת הקרינה הנפלטת בשל תנועת החלקיק כתלות באורך הגל הפוגע.
פתרון:
עצמת הקרינה הנפלטת מדיפול (במקרה זה - בכיוון z) נתונה על ידי  {\bf P} = \frac{2}{3}\frac{q^2 \dd{z}^2}{c^3}
כך ש : {\bf P} = \frac{2}{3}\frac{e^4 \omega^4 E_0^{\,2}}{m_e^{\,2} c^3(\omega^2-\omega_0 ^{\,2})^2} \underbrace{\< \sin^2(\omega t)\>}_{1/2}
עצמת הקרינה הנפלטת, תלויה כמובן בשטף הקרינה הממוצעת של הגל הפוגע, ובפקטור פיזור כלשהו, זהו חתך הפעולה לפיזור - \sigma
כך שניתן לרשום:   {\bf P} = \sigma \, \<S\> כאשר \<S\> הוא ממוצע שטף הקרינה של גל אלקטרומגנטי (שטף פוינטינג (poynting)) הנתון ע"י : \<S\>=\frac{ c \, E_0\,^2}{8\pi}
כך ש: {\bf P} =\frac{e^4 \omega^4 E_0^{\,2}}{3 m_e^{\,2} c^3(\omega^2-\omega_0 ^{\,2})^2}=\sigma \cdot \(\frac{c\,E_0 \,^2}{8 \pi}\)
מכאן, שחתך הפעולה הוא :
  \sigma=\frac{8\pi}{3}\underbrace{ \( \frac{e^2 }{m_e c^2} \)^2}_{r_e \,^2}\frac{\omega^4}{\(\omega^2-\omega_0^{\,2}\)^2}

ה.   מהו הביטוי המתקבל כאשר  \omega \ss \omega_0 ?

פתרון:   \sigma_T=\frac{8\pi}{3} \( \frac{e^2 }{m_e c^2} \)^2 \approx r_e \,^2

במקרה שתדירות הקרינה הפוגעת גדולה בהרבה מתדירות האלקטרון, חתך הפעולה הוא  "השטח הקלאסי" של האלקטרון -r_e^{\,2}  זהו פיזור תומפסון

ו.    מהו חתך הפעולה לפיזור כאשר אורך הגל הפוגע קטן בהרבה מתדירות האטום  \omega \ll \omega_0 (\sqrt{\frac{K}{m}})  ?

פתרון:
במקרה זה תדירות הקרינה הפוגעת קטנה בהרבה מתדירות האלקטרון, חתך הפעולה מקבל "תלות" באורך הגל הפוגע, זהו פיזור ריילי \sigma_R = \left(\frac{\omega}{\omega_0}\right)^4\,\sigma_T


אם נמדל את האטמוספירה של כוכב לכת דמוי ארץ כגז אחיד ובו אלקטרונים מחוברים לקפיצים עם תדירות \omega_0? (תאור טוב יותר ומסובך יותר יהיה אוסף של קפיצים רבים בתדירויות שונות).
הנח כי: צפיפות האלקטרונים היא   n_e=10^{21} \frac{e}{cm^3} וגובה האטמוספיה  h=10^{6}cm וכי האטמוספירה אטומה לאורכי גל קצרים מ-2700 \AA (עומק אופטי=1 באורך גל זה).


ז.    חשב את התדירות המתאימה לאורכי הגל הקצרים ביותר העוברים באטמוספירה.

פתרון: נחשב את תדירות אורך הגל הנתון, וממנה את "קבוע הקפיץ" של האלקטרון
התדירות : \omega=\frac{2\pi c}{\lambda} = \frac{2\pi 3 \times 10^8m}{2700\times 10^{-10}m} \approx 7 \times 10^{15}

ח.    מהו \omega_0 על פי העובדות הנ"ל?

פתרון: את התדירות קיבלנו בסעיף ז. ממנה ועל ידי נתוני השאלה ניתן לחשב את תדירות האלקטרון:
\alpha=\sigma_T \frac{\omega^4}{\(\omega^2-\omega_0^{\,2}\)^2} n_e h=1 \Rightarrow \(\omega^2-\omega_0^{\,2}\)^2 =\sigma_T n_e h \omega^4
ממשיכים לפתח את המשוואה לקבלת תדירות האלקטרון וממירים את המשתנים לאורך גל ומקבלים:
\lambda_0=\frac{\lambda}{\sqrt{\sqrt{\sigma_T n_e h}+1}}=\frac{2700\AA}{\sqrt{\sqrt{6.6\times 10^{-25} 10^{27}}+1}}=523\AA

ט.    חשב את העומק האופטי של האטמוספירה כפונקציה של אורך הגל.

פתרון:
העומק האופטי פרופורציוני לחתך הפעולה, לצפיפות האלקטרונים ולאורך הדרך האופטית כך ש: \alpha _\omega \sim \sigma_R n_e \Rightarrow \alpha _\lambda \sim \( \frac{\lambda_0}{\lambda}\)^4 \sigma_T n_e h


י.      בעקבות תוצאה זו, מהו העומק האופטי בתחום הנראה (עומק אופטי=1 באורך גל 2700 \AA):
            1.    עבור אור כחול 3500 \AA
            2.    עבור אור כחול 6500 \AA

פתרון:
מתוך הנתונים ניתן להניח כי \alpha _{2700\AA} =1\Rightarrow \( \frac{2700}{2700}\)^4 \sigma_T n_e h\approx1
כך שנקבל:
א.
\alpha _{3500\AA} = \( \frac{2700}{3500}\)^4 \sigma_T n_e h=0.35
ב.
\alpha _{6500\AA} =1\Rightarrow \( \frac{2700}{6500}\)^4 \sigma_T n_e h=0.03

מתוצאות אלה ניתן לראות כי אור כחול (א.) מפוזר הרבה יותר באטמוספירה מאשר אור אדום (ב.)
ולכן צבע השמים - כלומר האור שבא מהפיזורים באטמוספירה - הוא כחול.