תנועה יחסית

נשתמש בתנועה יחסית, ונגדיר מערכת צירים אשר נעה עם העגלה. נבחר את הראשית בנקודת הזריקה, את כיוון y כלפי מעלה, ואת כיוון x שמאלה. (ראה ציור)
המהירות ההתחלתית של הזריקה ביחס לקרקע כוללת גם את רכיב v0 וגם את המהירות v של העגלה. ביחס למערכת הצירים הנעה שקבענו, יש רק מהירות v0 בנציב לעגלה.
\vec{v_0}= \begin{pmatrix} 0 \\ v_0 \end{pmatrix}
תאוצת הנפילה החופשית במערכת הצירים שלנו היא:
\vec{a} = \begin{pmatrix} g\sin(\alpha) \\ -g\cos(\alpha) \end{pmatrix}
ולכן, נוסחת המיקום כפונקציה של הזמן הן:
\vec{r} = \vec{r_0}+\vec{v_0} t + \vec{a}\frac{t^2}{2} = \begin{pmatrix} \frac{gt^2}{2}\sin(\alpha) \\ -\frac{gt^2}{2}\cos(\alpha) + v_0 t \end{pmatrix}
נבדוק מתי הכדור חוזר לעגלה על ידי השוואת רכיב הy של מיקומו ל 0:
y= -\frac{gt^2}{2}\cos(\alpha) + v_0 t = -\frac{gt}{2}\left( t - \frac{2v_0}{g\cos(\alpha)}\right) = 0 \\\left{ t_0 =0 \\t_1=\frac{2v_0}{\cos(\alpha)g}\right.
נוכל למצוא את המרחק האופקי שעבר הכדור על ידי הצבת הזמן:
x= \frac{g}{2}\sin(\alpha) \left(\frac{2v_0}{\cos(\alpha)g}\right)^2 = \frac{2\sin(\alpha)}{g\cos^2(\alpha)}v_0^2
על מנת שהכדור יחזור לעגלה, x צריך להיות קטן מ L, ולכן:
x= \frac{2\sin(\alpha)}{g\cos^2(\alpha)}v_0^2 < L \\ v_0^2 < \frac{L}{\frac{2\sin(\alpha)}{g\cos^2(\alpha)}} \\ v_0 < \sqrt{\frac{Lg\cos^2(\alpha)}{2\sin(\alpha)}}
נבצע בדיקה לממדי התשובה:
\frac{[Length]}{[Time]} = \sqrt{[Length]\cdot\frac{[Length]}{[Time]^2}}