01_Math_intro/e_01_1_011.html

Distance in polar coordinates

Find the distance between two points $P_1=(r,\varphi_1)$ and $P_2=(r,\varphi_2)$ (polar coordinates).

01_Math_intro/e_01_1_012.html

Distance in spherical coordinates

Find the distance between $P_1=(R_1, \theta_1, \varphi_1)$ and $P_2=(R_2, \theta_2, \varphi_2)$ (spherical coordinates).

01_Math_intro/e_01_1_013.html

Elliptical coordinates

We define elliptical coordinates as follows: $r=\sqrt{x^2/a^2+y^2/b^2}$ and $\varphi$ as in polar coordinates. Find $x,y$ as functions of $r,\varphi$ .

01_Math_intro/e_01_1_014.html

Distance in elliptical coordinates

In elliptical coordinates ( $r=\sqrt{x^2/a^2+y^2/b^2}$ and $\varphi$ as in polar coordinates) find distance between two points $P_1=(r,\varphi_1)$ and $P_2=(r,\varphi_2)$ .

01_Math_intro/e_01_1_015.html

Coordinates and vectors

Two different coordinate systems are established on a straight line, $x$ and $x'$ , which are related as follows: $x/a=(x'/b)^3$ , where $a$ and $b$ are constants. The distance element in terms of $x$ is given by $ds^2=dx^2$ . Find the expression for the distance element in terms of $x'$ .

01_Math_intro/e_01_1_016.html

Distance element

Two different coordinate systems are established on a plane, $(x,y)$ and $(x',y')$ , which are related as follows:
$x'=x\cos\theta -y\sin\theta, \quad y'=x\sin\theta +y\cos\theta$
where $\theta=\mbox{const}$ . Find the distance element in terms of coordinates $(x',y')$ , if $(x,y)$ are Cartesian.

01_Math_intro/e_01_1_017.html

Distance element

Same as above but the relation reads
$x'=x\cos\theta +y\sin\theta, \quad y'=x\sin\theta +y\cos\theta$
.

01_Math_intro/e_01_1_018.html

Distance element

New coordinates $(\rho',\varphi')$ are introduced which are related to the ordinary polar coordinates $(\rho,\varphi)$ as follows: $\varphi'=\varphi$ , $\rho'=1/\rho$ . Find the distance element.

01_Math_intro/e_01_1_019.html

Coordinates and vectors

Starting with cartesian coordinates we define new ones as follows: $x'=ax+by$ , $y'=cx+dy$ , where $a,b,c,d$ are some constant parameters. What conditions on these parameters should be satisfied in order that the new coordinates also be cartesian and the measure of the distance remain the same ?

01_Math_intro/e_01_1_020.html

Volume of tetrahedron

Four vertices of the tetrahedron are given by four radius-vectors $\vec {r}_i$ , $i=1,2,3,4$ . Find the volume.

01_Math_intro/e_01_1_021.html

Coordinates and vectors

Let $\vec {r}_1$ be the vector from the center of the Earth to New-York and $\vec {r}_2$ is the vector from the center of the Earth to Jerusalem. Find the angle between the two vectors (find the lacking data in a geographical atlas).

01_Math_intro/e_01_1_022.html

Elliptical coordinates

Find the distance element $ds^2$ in the elliptical coordinates $r=\sqrt{x^2/a^2+y^2/b^2}$ , $\tan\varphi=y/x$ . Define unit vectors tangential and normal to $r=\text{const}$ curves and derive their relation to $\vec {e}_x$ and $\vec {e}_y$ .

01_Math_intro/e_01_1_023.html

Legitimate coordinates?

Are the coordinates $x'=xy$ , $y'=y/x$ legitimate ? If yes, find the distance element.

01_Math_intro/e_01_1_024.html

Length of parabola

Calculate the length of the parabola $y=ax^2$ , $a=\mbox{const}$ , from $x=-a$ to $x=a$ .

01_Math_intro/e_01_1_025.html

Circumference

Ellipse is given by the equation $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ . Calculate the circumference.

01_Math_intro/e_01_1_026.html

Equation of plane

A plane passes through the point $\vec{r}_0$ and its normal is $\hat{n}$ . Write down the equation of the plane.

01_Math_intro/e_01_1_027.html

Spherical coordinates

Find the relation between the unit vectors of 3D Cartesian coordinates and unit vectors of spherical coordinates.

01_Math_intro/e_01_1_028.html

Cylindrical and spherical coordinates

Decompose unit vectors of cylindrical coordinates using unit vectors of spherical coordinates.

01_Math_intro/e_01_1_029.html

Coordinates and vectors

Let $\vec{\omega}=\omega \hat{z}$ (cylindrical coordinates). Derive $\vec{\omega}\times\vec{r}$ , $\vec{\omega}\times(\vec{\omega}\times \vec{r})$ , and $\vec{r}\times (\vec{\omega}\times \vec{r})$ .

01_Math_intro/e_01_1_030.html

The shortest distance between cities

Two cities on Earth surface (assume it is a sphere with the radius $R$ ) have the coordinates $(\alpha_1, \beta_1)$ and $(\alpha_2,\beta_2)$ , where $\alpha$ is the latitude, and $\beta$ is the longitude. Find the shortest distance between the cities. Hint: Arc of the circle passing through the center of the Earth.

01_Math_intro/e_01_1_031.html

Coordinates and vectors

Four vertices of the tetrahedron are given by four radius-vectors $\vec {r}_i$ , $i=1,2,3,4$ . Find the volume.

01_Math_intro/e_01_1_032.html

Distance element $ds^2$ in the elliptical coordinates

01_Math_intro/e_01_1_033.html

Cross product

Simplify $(\vec {a}\times\vec {b})\cdot (\vec {c}\times\vec {d})$ .

01_Math_intro/e_01_1_034.html

Coordinates and vectors

Given two non-parallel unit vectors $\vec {e}_1$ and $\vec {e}_2$ , find another unit vector $\vec {e}_3$ such that all three are in the same plane and $\vec {e}_3$ divides the angle between the first two in the way $\hat{\vec {e}_1\vec {e}_3}= 2\hat{\vec {e}_2 \vec {e}_3}$ .

01_Math_intro/e_01_1_035.html

Projection

What is the projection of the vector $\vec {a}$ onto the unit vector $\hat{\vec {e}}$ ?

01_Math_intro/e_01_1_036.html

Projection

What is the projection of the vector $\vec {a}$ onto the vector $\vec {b}$ ?

01_Math_intro/e_01_1_037.html

Coordinates and vectors

Given two vectors $\vec {a}$ and $\vec {b}$ , represent vector $\vec {a}$ as a sum of two vectors, $\vec {a}_\parallel$ and $\vec {a}_\perp$ , $\vec {a}=\vec {a}_\parallel+\vec {a}_\perp$ , such that $\vec {a}_\parallel \parallel \vec {b}$ and $\vec {a}_\perp \perp \vec {b}$ .

01_Math_intro/e_01_1_038.html

Coordinates and vectors

On the Earth a man is at the point $20^\circ$ east longitude and $40^\circ$ latitude moves in the north-east direction. Express the unit vector along the velocity in spherical and cartesian coordinates.

01_Math_intro/e_01_1_039.html

Coordinates and vectors

Show that a straight line is given by the relation $\vec {r}=\lambda \vec {a} +\vec {b}$ , where $\vec {a}$ and $\vec {a}$ are constant vectors and $-\infty<\lambda<\infty$ .

01_Math_intro/e_01_1_040.html

Intersection line of two planes

Find the intersection line of the two planes $\vec {r}\cdot \vec {a}_1=d_1$ and $\vec {r}\cdot \vec {a}_2=d_2$ .

01_Math_intro/e_01_1_041.html

Equation for a circle

Write in the vector form the equation for a circle with the radius $R$ , normal direction $\hat{\vec {n}}$ (unit vector !), and center at $\vec {r}_0$ .

01_Math_intro/e_01_1_042.html

Cylindrical surface

Write in the vector form the equation for a cylindrical surface with the radius $R$ and the axis parallel to $\vec {a}$ and crossing the point $\vec {r}_0$ .

01_Math_intro/e_01_1_043.html

Coordinates and vectors

Prove that four different points $\vec {r}_i$ , $i=1,2,3,4$ , are always on a sphere and find the center and the radius of the sphere.

01_Math_intro/e_01_1_044.html

$\delta_{ii}$

Calculate a) $\sum_i \delta_{ii}$ , b) $\sum_{ij}\delta_{ij}$ , c) $\sum_j \delta_{ij}\delta_{jk}$ , d) $\sum_{jk} \delta_{ij}\delta_{jk}\delta_{kl}$ .

01_Math_intro/e_01_1_045.html

$\varepsilon_{ijk}$

Prove a) $\sum_{ijk} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{ijk}=6$ , b) $\sum_{jk} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{mjk}=2\delta_{im}$ , c) $\sum_{k} \varepsilon_{ijk} \varepsilon_{mnk}=\delta_{im}\delta_{jn} - \delta_{in}\delta_{jm}$ .

01_Math_intro/e_01_1_046.html

$\vec {A}\times(\vec {B}\times \vec {C})$

Express $\vec {A}\times(\vec {B}\times \vec {C})$ with the use of $\varepsilon_{ikj}$ and $\delta_{ij}$ .

01_Math_intro/e_01_1_047.html

Angular momentum

Angular momentum is defined as $\vec {J}=m\vec {r}\times\vec {v}$ . Express in terms of angular velocity for a circularly moving particle.

01_Math_intro/e_01_1_048.html

Coordinates and vectors

Given two nonparallel vectors $\vec {a}$ and $\vec {b}$ build three mutually perpendicular unit vectors.

01_Math_intro/e_01_1_049.html

תרגיל

נתונים הוקטורים $V_1=(-2,3,1)$ ו $V_2=(1,-2,-1)$ . חשב את
א. $V_1 \cdot ((V_1+V_2)\times(V_1-V_2))$
ב. $V_1 \times (V_2\times(V_1+V_2))$
ג. $V_2 \times(V_1 \times(V_1-V_2))$

01_Math_intro/e_01_1_050.html

תרגיל

נתןנים הוקטורים $\vec{A}=(A_x,A_y,A_z)$ , $\vec{B}=(B_x,B_y,B_z)$ , $\vec{C}=(C_x,C_y,C_z)$ , $\vec{D}=(D_x,D_y,D_z)$ . חראה כי:
א. $(\vec{A} \times \vec{B}) \times \vec{C} = (\vec{A} \cdot \vec{C}) \vec{B} - (\vec{B}\cdot \vec{C})\vec{A}$
ב. $\vec{A}\times(\vec{B}\times\vec{C})=\vec{B}(\vec{A}\cdot\vec{C})-\vec{C}(\vec{B}\cdot\vec{A})$
ג. $(\vec{A} \times \vec{B})\cdot(\vec{C} \times\vec{D}) = (\vec{A} \cdot \vec{C})(\vec{B}\cdot\vec{D})-(\vec{A}\cdot\vec{D})(\vec{B}\cdot\vec{C})$

01_Math_intro/e_01_1_051.html

תרגיל

נתונים הוקטורים $\vec{r}_1 = (r_1,\theta_1,\varphi_1)$ ו $\vec{r}_2 = (r_2,\theta_2,\varphi_2)$ . הזוית בין r1 ו r2 היא $\alpha_{12}$ . מהי $\sin\alpha_{12}$ ?

01_Math_intro/e_01_1_052.html

תרגיל

נתונים הוקטורים $V_1,V_2$ ו $V_3$ המקיימים $V_1+V_2+V_3=0$ .
הראה כי
א. $V_1\times V_2 = V_2\times V_3 = V_3\times V_1$
ב. $\frac{V_1}{\sin(\theta_{23})}=\frac{V_2}{\sin(\theta_{31})}=\frac{V_3}{\sin(\theta_{12})}$

01_Math_intro/e_01_1_053.html

Vector algebra

Given two vectors, $\vec{V}$ and $\vec{W}$ , with norms, v and w respectively. The angle between them is $\phi$
a) Find the norm of the vector $\vec{V}$ - $\vec{W}$ , i.e. $|\vec{V}-\vec{W}|$ .
b) Find the angle $\psi$ between the vectors $\vec{V}-\vec{W}$ and $\vec{V}$ .
c) Calculate (a) and (b) for:
v=12 w=9
and
$\phi=0 , \frac{\pi}{6} , \frac{\pi}{2} , \pi$
d) Draw the vectors $\vec{V}$ , $\vec{W}$ and $\vec{V}-\vec{W}$ for $\phi=\frac{\pi}{6}$ .

01_Math_intro/e_01_1_054.html

Relations between two coordinate systems

Given two coordinate systems $(x,y)$ and $(x',y')$ and the relations between them
$x'=x\cos\theta+y\sin\theta$
$y'=-x\sin\theta+y\cos\theta$
Show that the norm of the vector $\vec{A}+\vec{B}$ , where $\vec{A}$ =(Ax ,Ay) $\vec{B}$ =(Bx , By) in the $(x,y)$ coordinate system stays unchanged when moving to the $(x',y')$ coordinate system.

01_Math_intro/e_01_1_055.html

Linear dependence of vectors

Given two vectors $\vec{V_1}= 6\hat{x}+4\hat{y}+2\hat{z}$ and $\vec{V_2}= 10\hat{x}-5\hat{y}+3\hat{z}$ :
Find $\vec{V_3}$ such that $\vec{V_1}+\vec{V_2}+\vec{V_3}=0$ .
Find $\vec{V_3}$ such that $\vec{V_1}-\vec{V_2}+\vec{V_4}=0$ .

01_Math_intro/e_01_1_056.html

Partial derivatives and differentials

For the function:
$U(x,y,z)=\frac{1}{[x^2+y^2+z^2]^{\frac{3}{2}}}$
Compute:
$\frac{\partial U(x,y,z)}{\partial x}$ , $\frac{\partial^2 U(x,y,z)}{{\partial y}^2}$ , $\frac{\partial^2 U(x,y,z)}{\partial y\partial z}$
and the full differential - $dU$ .

01_Math_intro/e_01_1_057.html

Vector algebra

Given two vectors, $\vec{a}$ and $\vec{b}$ with norms, $\left|\vec{a}\right|=a$ , $\left|\vec{b}\right|=b$ and the angle $\phi$ between them,

1.Find $\left|\vec{a}+\vec{b}\right|$ .
2. Find the angle $\psi$ between $\vec{a}+\vec{b}$ and $\vec{a}$ .

01_Math_intro/e_01_1_058.html

Coordinates

The angle between two sets of Cartesian coordinates, $(x,y)$ and $(x',y')$ , is $\phi$ .
1. Find the relations between the unit vectors of $(x',y')$ in terms of the unit vectors of $(x,y)$ .
2. For an arbitrary vector $\vec{A}$ with components $(A_x,A_y)$ in the $(x,y)$ set, find its components, $(A_{x'},A_{y'})$ , in the $(x',y')$ set.

01_Math_intro/e_01_1_059.html

Coordinates

A vector $\vec{B}$ has three angles with the axes, $\alpha,\beta,\gamma$ .
Prove that :
$cos^2\alpha+cos^2\beta+cos^2\gamma=1$ .

01_Math_intro/e_01_1_060.html

Derivatives

Given the function

    $f(x,y)=5x^3+x^2cosy$

compute:
     $\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}$ , $\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}$ , $\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{x}^2}$ , $\frac{\partial^2{f(x,y)}}{\partial{y}^2}$

and show that     $\frac{\partial}{\partial{y}}\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{x}}-\frac{\partial}{\partial{x}}\frac{\partial{f(x,y)}}{\partial{y}}=0$

01_Math_intro/e_01_1_061.html

Differential equations

Solve the system of differential equations

$\ddot y_1 = -2y_1+y_2 \\ \ddot y_2 = y_1-2y_2$

where $y_i = y_i(t)$ .

01_Math_intro/e_01_1_062.html

Differential equations

Solve the system of differential equations

$\ddot y_1 = y_2-2y_1-\Gamma \dot y_1 + F_1 e^{\imath \omega t} \\ \ddot y_2 = y_3-3y_2+y_1-\Gamma \dot y_2 \\ \ddot y_3 = -2y_3+y_2-\Gamma \dot y_3 + F_3e^{\imath \omega t}$

where $y_i = y_i(t)$ .

01_Math_intro/e_01_1_063.html

Differential equations

Solve the system of differential equations

$\ddot x + a_1\dot x + b_1\dot y + c_1 x + d_1 y = k_1 e^{\imath \omega t} \\ \ddot y + a_2\dot x + b_2\dot y + c_2 x + d_2 y = k_2 e^{\imath \omega t}$

where $x = x(t), y=y(t)$ .

01_Math_intro/e_01_1_064.html

Differential equations

Solve the system of differential equations

$\ddot y_1 = y_1 + 2 y_2 \\ \ddot y_2 = 3y_2 \\ \ddot y_3 = 2y_1-4y_2+2y_3$

where $y_i=y_i(t)$ .

01_Math_intro/e_01_1_065.html

Differential equations

Solve the system of differential equations

$\ddot y_1 = y_1 + 2 y_2 -2\dot y_1 + 5\cos(2t) \\ \ddot y_2 = 2y_1 + y_2 -2\dot y_2 - 2\cos(2t)$

where $y_i=y_i(t)$ .

01_Math_intro/e_01_1_066.html

Fourier series

For the sawtooth wave f(t)

Expand f(t) into the Fourier series both with real and complex coefficients (i.e. in the "sin/cos" and "exp" forms)
Make sure that both series are equal.
Plot the function f(t) and its approximation using the first N members of the infinite Fouries series you found. Check (qualitatively) how good the approximation is for different N's. (use any mathematical program for this purpose, e.g. Matlab).

01_Math_intro/e_01_1_067.html

The power of curvilinear coordinates

a disk of radius R has a density of $\sigma(x,y)=\sigma_0\left(x^2+y^2\right)^{1/2}$ .
1) in Cartesian coordinates, try to find the disk's mass, $M=\int\int\sigma(x,y)dxdy$ .
2) now do it in polar coordinates.

01_Math_intro/e_01_2_001.html

טורי טיילור

פתח/י את הפונקציות הבאות לטור טיילור עד לסדר III סביב $a = 0$ :

$\frac{1}{1-x}$
$\sin{x}$
$\cos{x}$

01_Math_intro/e_01_2_002.html

יעקוביאנים

מצא/י את היעקוביאן במעבר מקואורדינטות קרטזיות לקואורדינטות הבאות:

פולריות.
כדוריות.

01_Math_intro/e_01_2_003.html

אינטגרלים

פתור/י את האינטגרלים הבאים:

$\int{\frac{x dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$
$\int{\frac{x^2 dx}{\sqrt{a^2-x^2}}}$

01_Math_intro/e_01_2_004.html

משוואה דיפרנציאלית

פתור/י את המשוואה הדפרנציאלית הבאה:
$L \ddot Q + R \dot Q + \frac{1}{C}Q = 0$
כאשר R,L,C הם קבועים.

01_Math_intro/e_01_2_005.html

זהויות וקטוריות

הוכח/י את הזהויות הבאות:

$(\vec a \times \vec b) \times \vec c = (\vec a \cdot \vec c) \vec b - (\vec b \cdot \vec c) \vec a$
$(\vec a \times \vec b) \cdot (\vec c \times \vec d) = (\vec a \cdot \vec c) (\vec b \cdot \vec d) - (\vec a \cdot \vec d) (\vec b \cdot \vec c)$
$(\vec a \times \vec b) \times (\vec c \times \vec d) = [\vec a \cdot (\vec b \times \vec d)] \vec c - [\vec a \cdot (\vec b \times \vec c)] \vec d$

01_Math_intro/e_01_2_006.html

משפט סינוסים וקוסינוסים

הוכח/י באמצעות חשבון וקטורי:

משפט הקוסינוסים (המישורי).
משפט הסינוסים (המישורי).

01_Math_intro/e_01_2_007.html

משפט סינוסים וקוסינוסים

במכפלה הוקטורית : $\vec F = q \vec V \times \vec B$ נתון כי:
$q = 2$
$\vec v = 2 \vec i + 4 \vec j + 6 \vec k$
$\vec F = 4 \vec i - 2 \vec j + 12 \vec k$
מה הוא B (מספרית) כאשר $B_x = B_y \neq B_z$ ?

01_Math_intro/e_01_2_008.html

משפט הקוסינוסים

הוכיחו את משפט הקוסינוסים ע"י חשבון ווקטורי:
$n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$

01_Math_intro/e_01_2_009.html

Vectors

A vector that points from the origin to a moving object is given by:
r=(4t,sin(wt),Exp(-at))
find the velocity and acceleration of the object.

01_Math_intro/e_01_2_010.html

Vectors

Given the vectors: A=(1,2,3) and B=(4,3,1).

a. calculate the length of both vectors.
b. find a unit vector C, that points the same direction as A.
c. calculate the length of C to verify that it is unity.
d. find the angle between the two vectors A and B.
e. find the vector D that points from B to A.
f. find the vector E that points from A to B.

01_Math_intro/e_01_2_103.html

אינטגרלים

נגדיר
$I_n=\int_{-\infty}^\infty x^{2n}e^{-a x^2} dx$
להוכיח
$I_n=\frac{(2n-1)!!}{2^n} \sqrt{\frac{\pi}{a^{2n+1}}}$
כאשר
$(2n+1)!!\equiv 1\cdot 3\cdot 5 \cdot \ldots \cdot (2n+1)$

01_Math_intro/e_01_3_121.html

משוואות דיפרנציאליות

נתונה המשוואה $R$ .
א. בטא/י את היחידות של $alpha$ ואת היחידות של $alpha$ באמצעות היחידות של $alpha$ .
ב. הראה/י כי $x(t)=x_0 \ \mbox{e}^{-\Gamma t} \ \sin(\omega t)$ הוא פתרון.
ג. בטא/י את $alpha$ ואת $alpha$ באמצעות $alpha$ , $alpha$ ו- $alpha$ .

01_Math_intro/e_01_3_122.html

משוואות דיפרנציאליות

נתונה המשוואה $R$ כאשר $alpha$ ו- $alpha$ קבועים וחיוביים.
א. בטא/י את היחידות של $alpha$ באמצעות היחידות של $alpha$ .
ב. הראה/י כי פתרון כללי ניתן לרשום בצורה $x(t)=A \ \mbox{e}^{+\lambda t} + B \ \mbox{e}^{-\lambda t}$ .
ג. בטא/י את $alpha$ באמצעות $alpha$ ו- $alpha$ .
ד. נתון כי $alpha$ ו- $alpha$ . מצא/י את $alpha$ ואת $alpha$ .
ה. מהו הפתרון כאשר $alpha$ שלילי? הסבר/י!

01_Math_intro/e_01_3_123.html

משוואות דיפרנציאליות

נתונה המשוואה $R$ כאשר $alpha$ ו- $alpha$ קבועים וחיוביים.
א. בטא/י את היחידות של $alpha$ באמצעות היחידות של $alpha$ .
ב. הראה/י כי פתרון כללי ניתן לרשום בצורה $x(t)=A \cos(\omega t) + B \sin(\omega t)$ .
ג. בטא/י את $alpha$ באמצעות $alpha$ ו- $alpha$ .
ד. נתון כי $alpha$ ו- $alpha$ . מצא/י את $alpha$ ואת $alpha$ .

01_Math_intro/e_01_5_011.html

וקטורים

נתונים שני ווקטורים שגודלם זהה ושווה ל- 12.7 יחידות. כיוונם מתואר בציור (מכלשאר הבחינות הציור הוא סכמטי). נסמן את סכומם הווקטורי ב- $\vec r$ . מהם :
א.רכיב x ורכיב y של $\vec r$ ?
ב.הגודל של $\vec r$ .
ג.הזווית שיוצר $\vec r$ עם ציר x ?

01_Math_intro/e_01_5_012.html

וקטורים

נתונים שני ווקטורים $\vec v_1=6\hat i+2\hat k$ וְ $\vec v_2=\hat i+4\hat k+3\hat k$
א.מצא/י ווקטור $\vec v_3$ המקיים : $\vec v_1 + \vec v_2 + \vec v_3=0$ .
ב.מצא/י ווקטור $\vec v_4$ המקיים : $\vec v_1 - \vec v_2 + \vec v_4=0$ .

01_Math_intro/e_01_5_013.html

וקטורים

נתונים הווקטורים הבאים: $\vec A=(3,4),\vec B=(6,-8),\vec C=(3,3,3),\vec D=(2,1,3)$
א.חשב/י את המכפלה הסקלרית $\vec A\cdot \vec B$ , מהי הזווית בין שני הווקטורים ?
ב.חשב/י את המכפלה הווקטורית : $\vec A\times \vec B$ .
ג.חשב/י את הגודל של הווקטור $\vec C\times \vec D$ .

01_Math_intro/e_01_5_014.html

וקטורים

נתונים שלושה ווקטורים : $\vec a=2\hat i-2\hat j -\hat k$ , $\vec b=6\hat i-3\hat j +2\hat k$ , $\vec c=4\hat i-1\hat j +3\hat k$
א.חשבו את האורך של כל ווקטור.
ב.מהי הזוויתבין הווקטור $\vec a + \vec b + \vec c$ לבין כל אחד מהווקטורים $\vec a, \vec b,\vec c$ ?
ג.האם הווקטורים יוצרים משולש ?

01_Math_intro/e_01_5_015.html

מהירות

מכונית נוסעת במהירות 50 קמ"ש. היא יוצאת מנקודה נוסעת 30 דקות מערבה ולאחר מכן נוסעת 70 דקות בכיוון דרום-מערב.
א. מה יהיה המרחק והכיוון של המכונית מנקודת המוצא ?
ב. מה יהיההמרחק והכיוון של המכונית מנקודת המוצא במידה ומהירותה הייתה 75 קמ"ש ?

01_Math_intro/e_01_5_016.html

ספינה מפליגה 50 ק"מ בזווית 70 לציר ה - $x$
ולאחר מכן 130 ק"מ בזווית 40 לציר $x$
מצאו את הכיוון והמרחק של הספינה מנקודת המוצא

01_Math_intro/e_01_5_017.html

נתון וקטור בהצגה קרטזית $\vec{r}=(3,4)$
הצג/י את הוקטור בהצגה פולרית

2.נתון וקטור שאורכו 10 מטרים ונמצא במישור בזווית 53 לציר $x$
מצא/י את ההצגה הקרטזית של הוקטור במרחב

3.חשב\י בעזרת מכפלה סקלרית את הזווית בין הוקטורים-
$\vec{B}=(2,1,3)$ $\vec{A}=(3,3,3)$

4.מצא\י את הנגזרת של הוקטור
$\vec{r}=(t^2 ,cos5t,7)$

01_Math_intro/e_01_5_018.html

גוף שממוקם במערכת הצירים מתחיל לנוע לנקודה $(-2,5)$
משם ממשיך לנוע צפונה במהירות 30 קמ"ש למשך 10 דקות כשהוא מגיע לשם מיד חוזר לראשית
מצאו את וקטורי ההעתק החלקיים ותארו אותם באופן קרטזי ופולרי
מצאו את הוקטור השקול (ההעתק הכולל

01_Math_intro/e_01_5_022.html

חקירת פונקציה

הפונקציה (h(t מתארת את הגובה של כדור קטן כפונקציה של הזמן t. הכדור נזרק כלפי מעלה ברגע t₀=0 מגובה מסוים.
א. מאיזה גובה נזרק הכדור? (רמז: זהו הערך של הפונקציה (h(t ברגע הזריקה. )
ב. מה הגובה המקסימלי שאליו יגיע ובאיזה רגע יגיע לגובה זה? (רמז: זהו ערך המקסימום של הפונקציה (h(t . )
ג. הכדור יגיע לקרקע ברגע מסוים. מצאו את הזמן שבו זה יקרה. (רמז: הגובה נמדד לפי המרחק מהרצפה, כלומר, הגובה של הרצפה הוא 0 .)
h(t) = h₀+v₀ t-g t² /2
0<h₀,g,v₀

01_Math_intro/e_01_5_023.html

וקטורים

נתונים 2 וקטורים:
$\vec{A}=(a-4,2,0) , \vec{B}=(2,3a,0)$

א. עבור אילו ערכי a הוקטורים ניצבים זה לזה, $\vec{A}\bot\vec{B}$ .
ב. עבור אילו ערכי a הוקטורים מקבילים זה לזה, $\vec{A}\parallel\vec{B}$ .

01_Math_intro/e_01_5_024.html

וקטורים

נתונים שני ווקטורים:
$\vec v_1=6\hat i+2\hat k$ ,
$\vec v_2=\hat i+4\hat k+3\hat k$
א.מצא/י ווקטור $\vec v_3$ המקיים : $\vec v_1 + \vec v_2 + \vec v_3=0$ .
ב.מצא/י ווקטור $\vec v_4$ המקיים : $\vec v_1 - \vec v_2 + \vec v_4=0$ .

01_Math_intro/e_01_8_011.html

וקטורים

מכונית נוסעת לכיוון דרום מזרחבמהירות 72 קמ"ש.
א.מהם היטלי המהירות לכיוון מזרח ולכיוון דרום?
ב.במהלך הנסיעה מחוג המהירות מתקלקל (כנראה בגלל ריבוי הבורות בכבישי ב"ש) ומראהאת המהירות ב- m/sec (מטרים לשנייה). איזו מהירות יראה המחוג כעת בהנחהשמהירות הנסיעה לא השתנתה?
ג.ידוע כי בכבישי הנגבה מהירות המותרת היא 90 קמ"ש. מחוג המהירות במכונית עומד על 30 [m/sec],האם אנחנו עברייני תנועה? ואם כן, מה גובה הדו"ח שנקבל?

01_Math_intro/e_01_8_012.html

פונקציות

הפונקציה המתארת את אחוז האלכוהול בדם (של חוגגבמסיבת בר מצווה) כתלות בזמן, בטווח 0-5 שעות היא $A(t)=-t^2+5t$ (ראה/י ציור):

א.כעבורכמה זמן מתחילת המסיבה אחוז האלכוהול הוא מקסימלי?
ב.מהו אחוז האלכוהול הממוצע של החוגג?
ג.מהו גילושל חתן הבר-מצווה?
ג.בדוק/בדקי תשובתך ע" י חישוב הזוויות בצורה גיאומטרית.
ד.מה צריכה להיות הזווית של $\vec b$ ביחס לציר x כדי לקיים $\vec a \cdot \vec b=0$

01_Math_intro/e_01_8_013.html

תנועה

מטוס טס במהירות 500 קמ"ש במשך 30 דקות מערבה ולאחר מכן 70 דקות בכיוון דרום-מערב.
א. מה יהיה המרחק שלהמטוס מנקודת המוצא לאחר 100 דקות?
ב.מהו הכיוון מנקודת המוצא למיקום החדש של המטוס?
ג. מה היו המרחק והכיוון של המטוס מנקודת המוצא במידה ומהירותו הייתה 750 קמ"ש ?
ד.בטא/י את התשובות לשלושת הסעיפים א,ב,ג ביחידות של מטריםסנטימטרים ומילימטרים.

01_Math_intro/e_01_8_014.html

וקטורים

נתונים שני ווקטורים, $\vec a=(1,3)$ ו- $\vec b=(4,2)$ .
א. למה שווה הווקטור השקול $\vec c= \vec a+\vec b$ ?
ב.חשב/י את הזוויות בין $\vec a$ ל- $\vec b$ , בין $\vec a$ ל- $\vec c$ ובין $\vec b$ ל- $\vec c$ בעזרת המכפילה הסקלרית ביניהם.

01_Math_intro/e_01_8_021.html

וקטורים

נתון הווקטור $\vec a=(2,4,4)$ .
א. כתוב/י ביטוי לווקטור היחידה $\hat a$ .
ב. כתוב/י ביטוי לווקטור $\hat b$ שכיוונו זהה לכיוון הווקטור $\hat a$ אבל אורכו 2 יחידות.
ג. מהי הזווית של הווקטור ביחס לציר x ?

01_Math_intro/e_01_8_022.html

משוואות דיפרנציאליות

נתונה המשוואה $R$ כאשר $alpha$ ו- $alpha$ קבועים וחיוביים.
א. בטא/י את היחידות של $alpha$ ו $alpha$ אם נתון ש $alpha$ הוא ביחידות של אורך ו $alpha$ ביחידות של מסה.
ב. מצא פתרון כללי למשוואה.
ג. נתון כי $alpha$ מצא את קבועי המשוואה

01_Math_intro/e_01_8_023.html

מעבר יחידות

דנה נוסעת כל יום לעבודה וחזרה מרחק של 52 ק"מ.

נתון כי מחיר הדלק הוא 6.1 ש"ח לליטר, תצרוכת הדלק של הרכב שלה הוא 13 ק"מ לליטר
ועלות התיקונים הממוצעת לרכב הוא 1200 ש"ח לעשרת אלפים ק"מ.
כמו כן ידוע שבחודש ישנם בממוצע כ22 ימי עבודה.

מצאו את העלות החודשית של הנסיעה לעבודה

01_Math_intro/e_01_8_024.html

משוואות דיפרנציאליות

נתונה המשוואה $R$ כאשר $alpha$ ו- $alpha$ קבועים וחיוביים.
א. בטא/י את היחידות של $alpha$ באמצעות היחידות של $alpha$ .
ב. הראה/י כי פתרון כללי ניתן לרשום בצורה $x(t)=A+B\mbox{e}^{-C t}$ .
ג. בטא/י את $alpha$ באמצעות $alpha$ ו- $alpha$ .
ד. נתון כי $alpha$ ו- $alpha$ . מצא/י את $alpha$ ואת $alpha$ .

04_Dimensions/e_04_2_002.html

ניתוח מימדים

נתונים הקבועים הבאים:
מהירות האור: $c=2.99*10^8 [m/s]$
קבוע פלנק: $h=6.626*10^{-34} [kg*m^2*s^{-1}]$
קבוע גרביטציה: $G=6.674*10^{-11} [m^3s^{-2}kg^{-1}]$
כלומר:
$[c]=L*T^{-1}$
$[h]=ML^2T^{-1}$
$[G]=M^{-1}L^3*T^{-2}$
על ידי שימוש בגדלים אלו מצאו:
א) גודל בעל יחידות של זמן.
ב) גודל בעל יחידות של אורך.
ג) גודל בעל יחידות של מסה.
ד) גודל בעל יחידות של תדירות $(T^{-1})$ .
ה) גודל בעל יחידות של צפיפות $(ML^{-3})$ .

04_Dimensions/e_04_2_004.html

ניתוח מימדים

נתונה המשוואה:
$\frac{\part u}{\part t}=au-bu^3+D \frac{\part^2 u}{\part x^2}$
כאשר a,b,D הם פרמטרים. נתון כי היחידות של u הם של צפיפות:
$[u]=\left[ \frac{M}{L^3} \right]$
א) מצאו את היחידות של:
$\frac{\part u}{\part t}$ ,a,b,D,au, $bu^3$ , $\frac{\part^2 u}{\part x^2}$ , $D\frac{\part^2 u}{\part x^2}$
ב) הפכו את המשוואה הנתונה למשוואה הבאה:
$\frac{\part v}{\part \tau}=v-v^3+ \frac{\part^2 v}{\part \chi^2}$
כאשר $v,\tau,\chi$ הינם חסרי מימד. מהם $v,\tau,\chi$ ?

04_Dimensions/e_04_2_005.html

מעבר יחידות

כמה dyne יש ב-Neuton אחד?
כמה ליטר יש במטר מעוקב (קוב) אחד?
cran היא יחידת נפח בריטית עבור דייג של דגי הרינג, כאשר 1cran=170.474L - בערך 750 דגים. משלוח של 1255 cran של דגים מגיע לערב הסעודית. במכס הסעודי צריך להצהיר לפי מידת הנפח המקומית שהיא covido מעוקב, כאשר 1 covido = 48.26 cm. כמה הדגים הוצהרו במכס? מה הוא נפח הדגים ביחידות SI?

04_Dimensions/e_04_4_001.html

המרת זוית מרדיאן

זוית של 1 רדיאן מוגדרת כך שאורך הקשת $R$ שנשענת על זוית של 1 רדיאן הוא הרדיוס $R$ .
נתון שאורך קשת $R$ שנשענת על זוית $R$ שווה לזוית ברדיאנים כפול הרדיוס $R$ .
ונתון שהיקף מעגל בעל רדיוס $R$ שווה $R$ .
חשבו כמה מעלות שווה 1 רדיאן.

04_Dimensions/e_04_8_006.html

מעבר יחידות

1 ) מהם 55 מיילים (יבשתיים) לשעה, ביחידות של מטר לשניה ?
נתון כי מייל יבשתי הוא כ- 1609 מטר.
2) כמה הם 16 גלונים בסמ"ק ?
נתון כי גלון אחד הוא 231 אינץ' מעוקב, וכי אינץ' הוא כ- 2.54 ס"מ.

07_Kinematics/e_07_1_011.html

Velocity, acceleration, trajectory

A particle moves in the $x-y$ plain according to the law: $x=k_1t$ , $y=k_2t^2$ . Find: a) velocity, b) acceleration, c) distance from the coordinate origin.

07_Kinematics/e_07_1_012.html

Velocity, acceleration, trajectory

A particle moves along the ellipse $x^2/a^2+y^2/b^2=1$ so that $d\varphi/dt=\text{const}$ . Find the velocity and acceleration. Find the radius of curvature.

07_Kinematics/e_07_1_013.html

Velocity, acceleration, trajectory

Trajectory is given by $y=kx^2$ , $k=\text{const}$ , and $x=at^2$ , $k=\text{const}$ and $a=\text{const}$ . Find $\vec {v}$ and $\vec {a}$ .

07_Kinematics/e_07_1_014.html

Velocity, acceleration, trajectory

Trajectory is given by $r=k\varphi$ and $\varphi=\omega t$ , $k=\text{const}$ and $\omega=\text{const}$ . Find $\vec {v}$ and $\vec {a}$ . What is the angle between the velocity and acceleration as a function of time ?

07_Kinematics/e_07_1_015.html

Velocity, acceleration, trajectory

Two spacecraft are orbiting Earth. The orbit radii and angular velocities are the same but one (A) orbit is always above the equator, while the other (B)passes above the poles. When B is above the equator the spacecraft A is on the opposite side of the diameter. Find the vectors connecting A and B as a function of time.

07_Kinematics/e_07_1_016.html

Velocity, acceleration, trajectory

Express the velocity vector (in general) in terms of spherical coordinates and unit vectors $\vec {e}_R$ , $\vec {e}_\theta$ , $\vec {e}_\varphi$ .

07_Kinematics/e_07_1_017.html

Velocity, acceleration, trajectory

A particle moves according to the law: $x=k_1t \cos(\omega t)$ , $y=k_2t\sin(\omega t)$ , $z=bt^2$ . Find the velocity and acceleration.

07_Kinematics/e_07_1_018.html

Velocity, acceleration, trajectory

Derive the expression for the trajectory length for the motion with constant acceleration.

07_Kinematics/e_07_1_019.html

Velocity, acceleration, trajectory

A particle moves along the trajectory $r=a/(1-\epsilon \cos\varphi)$ in cylindrical coordinates so that $r^2(d\varphi/dt)=l$ . Here $a$ , $\epsilon$ , and $l$ are constant parameters. Find $(dr/dt)$ as a function of $r$ . Same as a function of $\varphi$ .

07_Kinematics/e_07_1_020.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $x(t)=R\cos(\omega t)$ , $y(t)=R\sin(\omega t)$ . Find the angle between the vectors of velocity and acceleration as a function of time.

07_Kinematics/e_07_1_021.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $x(t)=R\exp(-\gamma_1t)\cos(\omega_1 t)$ , $y(t)=R\exp(-\gamma_2t)\sin(\omega_2 t)$ . Find the angle between the vectors of velocity and acceleration as a function of time.

07_Kinematics/e_07_1_022.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $r(t)=kt$ , $\varphi(t)=\omega t$ . Find the tangential and normal acceleration as functions of time.

07_Kinematics/e_07_1_023.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $v_x(t)=v_d+ v_0 \cos(\omega t)$ , $v_y(t)=v_0 \sin(\omega t)$ . Find $x(t)$ and $y(t)$ . What are the conditions on the parameters for the absence of self-intersection.

07_Kinematics/e_07_1_024.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $v_x(t)=v_d+ v_0 \cos(\omega t)$ , $v_y(t)=v_0 \sin(\omega t)$ , $v_z(t)=at$ . Find the distance from the coordinate origin to the particle as a function of time if $\vec {r}(t=0)=0$ .

07_Kinematics/e_07_1_025.html

Velocity, acceleration, trajectory

In a universe all bodies move away from the coordinate origin with the velocities $\vec {v}=K\vec {r}$ , where $K=\text{const}$ . What would see an observer at an arbitrary position $\vec {r}_0$ ?

07_Kinematics/e_07_1_026.html

Velocity, acceleration, trajectory

A rabbit starts to run at $t=0$ from the point $(x_0,0)$ in the positive direction of axis $y$ with the velocity $v_0$ (magnitude !). A fox starts to run from $(0,0)$ at the same moment and its velocity $v>v_0$ always points towards the rabbit. How much time does it take to catch the rabbit.

07_Kinematics/e_07_1_027.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $a_x=a_0\exp(-\gamma t)$ , $a_y=a_1\sin(\omega t)$ . Find $\vec {r}(t)$ .

07_Kinematics/e_07_1_028.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $v_x=v_{0x}\exp(-\gamma t)$ , $v_y=v_{0y}\sin(\omega t)$ , $v_z=v_{0z}+at$ . Write down the expression for the path length (integral).

07_Kinematics/e_07_1_029.html

Velocity, acceleration, trajectory

Given $x=x_0\cos(\omega t)$ , $y=y_0\sin(\omega t)$ , $x_0\ne y_0$ , find the tangential and normal components of the acceleration.

07_Kinematics/e_07_1_030.html

Velocity, acceleration, trajectory

A body starts from the equator of the sphere (``Earth'') with the radius $R$ and moves all the time in the north-east direction so that the velocity magnitude $v$ remains constant. Where does it stop and how much time does it take ?

07_Kinematics/e_07_1_031.html

Velocity, acceleration, trajectory

A cannonball is fired in an angle $\beta$ over an inclined plane of angle $\alpha$ . Show that in order for the cannonball to hit the plane horizontally, the angles must fulfill the relation
$tan(\alpha)=\frac{1}{2}tan(\beta)$ .

figure 1 - A cannonball is fired over an inclined plane.

07_Kinematics/e_07_1_032.html

Velocity, acceleration, trajectory

Find the minimal velocity that is needed in order to throw a body over a building with height h and width L.

07_Kinematics/e_07_1_033.html

Velocity Acceleration and Trajectory

Particle's motion is given by

$\vec{a}\left(t\right)=12t^2\hat{x}+\left(18t-8\right)\hat{y}-6t\hat{z}$

and
$\vec{r_0}=\left(3,-1,4\right)~,~\vec{v_0}=\left(6,15,-8\right)$ , $\vec{v_0}=\left(6,15,-8\right)$

Find $\vec{v}\left(t\right)$ and $\vec{r}\left(t\right)$ .

07_Kinematics/e_07_1_034.html

Velocity Acceleration and Trajectory

A ball is thrown in an angle $\alpha$ and initial velocity $v_0$ , and hits a building in a distance $l$ at a hight $h$ (above ground).

Find:
1. $\left|v_0\right|$ .
2. The vector $\vec{v_f}$ (final velocity).

07_Kinematics/e_07_1_035.html

Velocity Acceleration and Trajectory

Particle moves according to
$x\left(t\right)=r_0cos\omega t$ , $y\left(t\right)=r_0sin\omega t$ , $z\left(t\right)=\frac{1}{2}at^2$
Find the normal acceleration and the curvature radius $R$ .

07_Kinematics/e_07_1_036.html

Velocity Acceleration and Trajectory

Particle's trajectory is given by
$x\left(t\right)=Ae^{-\gamma t}cos\omega t$ , $y\left(t\right)=Ae^{-\gamma t}sin\omega t$
where $A,\omega$ and $\gamma$ are constants.

Find the magnitude of the normal and tangential acceleration.

07_Kinematics/e_07_1_037.html

תנועה

נתון גרף המתאר תנועה של גוף על ציר x. מצא את הפונקצית המיקום (x כתלות בזמן) ותאר בגרף את המהירות ואת התאוצה כפונקציה של הזמן.

07_Kinematics/e_07_1_038.html

תנועה

חלקיק נע לאורך ציר z פונקצית המיקום שלו נתונה ע"י: $Z(t) = 16te^ {-t}[m]$
מהו מרחקו של החלקיקי מהראשית כאשר הוא נעצר? באיזה זמן זה קורה?

07_Kinematics/e_07_1_039.html

תנועה

גוף יוצא מנקודה כלשהיא ומהירותו מתוארת בגרף

א. תאר את התנועה ב-15 שניות הראשונות
ב. רשום משוואת מהירות
ג. מהי הדרך שעובר הגוף ב 6 שניות הראשונות
ד. מהי משוואת המרחק
ה. מתי החלקיק יחזור לראשית

07_Kinematics/e_07_1_040.html

קינמטיקה

גוף נזרק כלפי מעלה במהירות של 30 מטר לשניה.
א. היכן ימצא הגוף לאחר 2 שניות.
ב. מה תהיה מהירותו לאחר 3 שניות.
ג. כמה זמן תימשך עלייתו.
ד. מהו הגובה המקסימלי במסלולו.
ה. באיזה מהירות יגיע לנקודת הזריקה.
ו. לאחר כמה זמן הגוף יהיה 10 מטר מתחת לנקודת הזריקה.

07_Kinematics/e_07_1_041.html

קינמטיקה

גוף נזרק המהירות של 30 מטר לשניה בזווית של 57 מעלות מעל האופק.
א. היכן ימצא הגוף לאחר 5 שניות.
ב.לאחר כמה זמן יגיע לשיא הגובה ? מהו שיא הגובה.
ג. לאחר כמה זמן יגיע חזרה לגובה ההתחלתי.
ד. מהו טווח הזריקה ?

07_Kinematics/e_07_1_042.html

קינמטיקה

ממטוס הטס אופקית במהירות 360 ק"מ לשעה ובגובה 980 מטר מוטלת פצצה לעבר רכב הנע לכיוון המטוס במהירות 90 ק"מ לשעה.
מה צריך להיות המרחק האופקי בניהם ברגע הטלת הפצצה על מנת להשיג פגיעה.

07_Kinematics/e_07_1_043.html

קינמטיקה

פגז נורה במישור משופע במהירות לוע של 100 מטר לשנייה (ראה ציור). איפה יפול הפגז ?

$\phi = 17^ \circ$
$\alpha = 20^ \circ$

07_Kinematics/e_07_1_310.html

Velocity, acceleration, trajectory

figure 1 - A cannonball is fired over an inclined plane.

07_Kinematics/e_07_1_311.html

תאוצה תלוית מהירות

סירה הנעה במהירות $v_0$ מורידה מפרש ברגע $t_0$ . מדידות הראו שמהירות הסירה אחר כך פרופורציונית ל- $1/t$ .
א) מצאו את תלות התאוצה במהירות.
ב) מצאו ביטוי מדויק למהירות לאחר הורדת המפרש.
ג) מצאו את הדרך כפונקציה של הזמן.

07_Kinematics/e_07_1_312.html

תנועה במעגל

חלקיק נע במעגל בעל רדיוס $R$ בתאוצה משיקית קבועה $a_t$ ובלי מהירות התחלתית. מצאו את גודל התאוצה הנורמלית
א) כפונקציה של הזמן.
ב) כפונקציה של זווית הסיבוב.

07_Kinematics/e_07_2_001.html

מניעת התרסקות

טייס קרב הטס במהירות של 1300 ק"מ לשעה מבצע תמרוני התחמקות ממכ"ם בטיסה נמוכה ברום של 35m מעל לקרקע. בשלב מסוים נתקל המטוס בקרקע העולה בשיפוע קל של 4.3º (שיפוע שקשה מאוד לזהות בעין).כמה זמן יש לטייס לבצע תיקון על מנת למנוע התרסקות?

07_Kinematics/e_07_2_002.html

זריקת גוף

בלוק נזרק מבניין בגובה h, במהירות התחלתית V0, ובזווית θ יחסית לאופק.
הראה/י כי המהירות הסופית של הבלוק לא תלויה בזווית הזריקה.

07_Kinematics/e_07_2_003.html

זרימה

נהר זורם צפונה במהירות Vr. בגדה המערבית נמצא אדם המשיט סירה לרוחב הנהר, במהירות Vb יחסית לנהר. האדם מעוניין להגיע אל הגדה הנגדית בדיוק מזרחית לנקודת מוצאו. נתון כי רוחב הנהר d.

באיזה כיוון הוא יהיה חייב להשיט את הסירה?
מה מהירות הסירה יחסית לאדמה?
כמה זמן תארך דרכו?

07_Kinematics/e_07_2_004.html

אסטרואיד

בקיץ 1989 חצה אסטרואיד ( הוא נקרא בדיעבד 1989FC) את מסלול כדו"ה במרחק של 650,000 km מאחוריו, כמתואר באיור:

רדיוס מסלול כדו"ה הינו 150 מיליון ק"מ, ומשך ההקפה נמשך 365.25 ימים. בעזרת נתונים אלה חשב/י בכמה זמן פספס 1989FC את כדו"ה.
מהירות האסטרואיד הוערכה כ74014- קמ"ש. בהנחה שמקור האסטרואיד הוא בחגורת האסטרואידים, הנמצאת במרחק של 300 מיליון ק"מ מכדו"ה, הערך/י בכמה (באחוזים) צריך היה לשנות את המהירות ההתחלתית של האסטרואיד כך שהייתה מתרחשת פגיעה?

07_Kinematics/e_07_2_005.html

חלקיק נע על מעגל

חלקיק נע על מעגל ברדיוס 3m. בזמן t=0 החלקיק חולף דרך נקודה (5,4) ביחס לראשית הצירים O. נתון כי מרכז המעגל נמצא ב-(5,7), המהירות הזוויתית היא $\omega = \frac{2\pi}{20} \frac{rad}{sec}$ מצא/י:

וקטור מיקום של החלקיק בכל זמן.
וקטור מהירות של החלקיק בכל זמן.
וקטור תאוצה של החלקיק בכל זמן.
המהירות הממוצעת באינטרוול זמן 5תחום הזויות בו נע וקטור המקום.
תחום הגדלים בו נמצא וקטור המקום.

07_Kinematics/e_07_2_006.html

תנועה במימד 1

מהירותו של חלקיק נתונה ע"י: $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$
כאשר $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$ קבועים. נתון כי בזמן t=0 מיקום החלקיק היה $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$ .
חשבו את מיקומו ותאוצתו של החלקיק כפונקציה של הזמן.

07_Kinematics/e_07_2_007.html

תנועה במימד 1

טיל נורה בכיוון אנכי בתאוצה קבועה של $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$ . לאחר 6 שניות נגמר הדלק בטיל והוא מבצע תנועה בליסטית.
א.    מהו הגובה המירבי אליו יגיע הטיל?
ב.    כמה זמן יחלוף מרגע ההמראה ועד הנחיתה?
ג.    באיזו מהירות יפגע הטיל בקרקע?

07_Kinematics/e_07_2_008.html

תנועה במימד 1

כדור נזרק אנכית במהירות $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$ כלפיה מעלה מגג של בנין בגובה $n=100\frac{1}{m},A=10{cm}^2,I_0=10A,I(t)=I_0sin(\omega t)$ . לאחר 2 שניות מפילים מהגג כדור נוסף כך ששני הכדורים מגיעים בו זמנית לקרקע.
חשבו את גובה הבניין.

07_Kinematics/e_07_2_009.html

קינמטיקה

מהירותו של רץ באימון נתונה בגרף הבא:

א. מהו המרחק אותו עובר הרץ באימונו ?
ב. בטא/י את $x(t)$ (מיקום הרץ כתלות בזמן), שרטט/י גרף של $x(t)$ כנגד t.
ג. מהי המהירות הממוצעת של הגוף ב-10 השניות הראשונות ?

07_Kinematics/e_07_2_011.html

תנועה מעגלית

מסה $m$ מונחת בתוך חרוט בעל זוית ראש $alpha$ , הסובב סביב צירו במהירות זויתית קבועה $omega$ .
מקדם החיכוך הסטטי בין המסה והחרוט הוא $mu_s$ . אם המסה נמצאת בגובה $h$ מקודקוד החרוט,
מהי המהירות הזויתית המקסימלית והמינימלית עבורן המסה לא תחליק במעלה או במורד החרוט?

07_Kinematics/e_07_2_012.html

תנועה מעגלית

אטום המימן מורכב מפרוטון סטטי ואלקטרון שמקיף אותו במהירות גבוהה. מודל בור מתאר את תנועת האלקטרון סביב הפרוטון באופן אנלוגי לתנועת הירח סביב כדוה"א - כאשר את כח הכבידה מחליף הכח האלקטרוסטטי:

$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$

כאשר:

$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$

לפי מודל האטום של בור המהירות ורדיוס הסיבוב ברמת היסוד קשורים ע"י המשוואה:

$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$

כאשר

$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$
$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$

א. חשבו את רדיוס הסיבוב של האלקטרון.
ב. חשבו מה היה רדיוס הסיבוב אם במקום הכח האלקטרוסטטי היה כח הכבידה אחראי על תנועת האלקטרון
.השוו את הרדיוס לגודלה של מערכת השמש.
השתמשו בקבועים:

$m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$

07_Kinematics/e_07_2_201.html

תרגיל

מהירות של גוף נתונה ע"י $\vec{v} = (v_0 e^{-\gamma t},v_0 \sin(\omega t), v_0+a t)$
א.מהם היחידות של $v_0,a,\omega,\gamma$ ?
ב. מהו וקטור המקום של הגוף אם בזמן t=0 הוא היה בראשית?

07_Kinematics/e_07_3_131.html

תנועה במהירות קבועה

באתר סקי רכבל מעלה את הגולשים לפסגת ההר. הרכבל עשוי קרוניות זהות בעלות אורך $L$ התלויות באמצעיתן על כבל הנע במהירות קבועה $v_1$ .
בקטע מסויים ברכבל שאורכו $A$ , עוברות הקרוניות לכבל איטי יותר שמהירותו $v_2$ $(v_2<v_1)$ .
* שימו לב כי גודל הקרונית סופי אך חיבור הקרונית לכבל נקודתי.
א. האם מרחק בין שתי קרוניות נשאר קבוע לפני ואחרי מעבר שתי הקרוניות את קטע $A$ ?
ב. הבע/י באמצעות נתוני השאלה את המרחק המינימלי $D$ בין שתי קרוניות עבורו לא תתרחש התנגשות. הנח/י כי $A>\frac{v_2}{v_1}D$ והסבר/י מדוע צריך להניח את זה.
ג. מה קורה למרחק $D$ בגבול $v_2\rightarrow 0$ ? הסבר/י.

07_Kinematics/e_07_3_132.html

זריקה אנכית

אבן נזרקת אנכית כלפי מעלה. בדרכה מעלה היא עוברת את הנקודה $A$ במהירות $v$ , ואת הנקודה $B$ הנמצאת $3$ מטרים גבוה יותר במהירות $v/2$ .
א. מהי המהירות $v$ ?
ב. מהו המרחק בין הנקודה בה גובה האבן מקסימלי לבין הנקודה $B$ ?

07_Kinematics/e_07_3_133.html

זריקה אנכית

אבן נזרקת מהקרקע אנכית כלפי מעלה במהירות $v_0$ . אדם עולה בכדור פורח במהירות קבועה $v_1$ . נתון $v_1<v_0$ .
כעבור כמה זמן מרגע הזריקה משנה האבן את כיוון תנועתה
א. מנקודת ראותו של צופה על הקרקע?
ב. מנקודת ראותו של האדם בכדור הפורח?

07_Kinematics/e_07_3_134.html

נפילה חופשית

כדור מושלך מבנין בגובה h הזמן שלוקח לכדור לעבור את המחצית השניה של הבנין הוא 3 שניות.
מה גובה הבנין?
נתון $R$ כלפי מטה.

07_Kinematics/e_07_3_135.html

תנועה בתאוצה קבועה במימד אחד

בזמן $t=0$ יוצא אלעד מבאר שבע ונוסע במהירות קבועה $v_1$ . בזמן כלשהוא נוסע יואב לאותו כיוון ונע בתאוצה קבועה של $a_2=0.1\frac{\mbox{m}}{\mbox{sec}^2}$ . נתון כי בזמן $t=1\frac{2}{3}\mbox{minute}$ יואב נמצא במרחק של $2.5\mbox{km}$ מבאר שבע ונע במהירות של $72\frac{\mbox{km}}{\mbox{h}}$ .
א. מהו מרחקו של אלעד מבאר שבע כפונקציה של הזמן? בטא/י תשובתך באמצעות נתוני השאלה.
ב. מה היתה מהירותו של יואב בזמן $t=0$ ?
ג. מה היה מרחקו של יואב מבאר שבע בזמן $t=0$ ?
ד. מהו מרחקו של יואב מבאר שבע כפונקציה של הזמן? בטא/י תשובתך באמצעות נתוני השאלה.
ה. מה צריך להיות גודלה של המהירות $v_1$ על מנת שיואב יחלוף על פני אלעד בזמן $t=5\mbox{minute}$ ?
ו. שרטט/י איכותית באותו הגרף את מרחקם של אלעד ושל יואב מבאר שבע כפונקציה של הזמן.

07_Kinematics/e_07_3_136.html

תנועה בשני מימדים

נתונה ספימת מלחמה הנעה במהירות של 30 קשרים לכיוון מזרח. צוללת הממוקמת 4 ק"מ ממנה יורה לעבר הספינה טורפדו הנע במהירות של 65 קשרים. בנוסף, נתון כי הזיהוי של הצוללת היה בכיוון 020 (20 מעלות לכיוון צפון מזרח)
א) מה זמן הריצה של הטורפדו (כמה זמן יעבור עד לפגיעה)?
ב) מה כיוון ירי הטורפדו?

07_Kinematics/e_07_3_137.html

פיסיקה בגשם

בעת ירידת גשם, האם נרטבים יותר כאשר רצים או כאשר הולכים?

07_Kinematics/e_07_4_001.html

טווח קרבי

טווח קרבי מוגדר כטווח בו פגז הנורה בזווית הגבהה מסוימת יפגע בכל מטרה הנמצאת בתוך הטווח, כלומר לא יקרה מצב בו הפגז יחלוף מעל למטרה.
מצא/י את הטווח הקרבי עבור הנתונים הבאים.

נתונים נוספים: מהירות לוע: 7200 קמ"ש
גובה המטרה: 3.6 מטר.
גובה נקודת היציאה של הפגז: 1.8 מטר
הפגיעה בסוף צריכה להיות במרכז המטרה

07_Kinematics/e_07_4_002.html

בליסטיקה עם גרר

נתון תותח הנמצא בקצה צוק בגובה 200 m יורה אופקית פגז במשקל של 1 kg, במהירות לוע של 635 m/s.
א) מה הטווח של התותח בהנחה שאין גרר?
ב) חשב/י את הטווח בהנחה שהפגז נורה דרך האוויר (הנחה סבירה...) המפעיל כוח גרר לפי הנוסחה $\vec{F}_d=-b\vec{v}$ , כאשר $b=0.2\frac{kg}{sec}$ .
מה השגיאה בחישוב הטווח
בהנחת סעיף א'? (יש לפתור נומרית)
נוסחת עזר: $\int_U^U \frac{dU}{a+bU} = \frac{1}{b}ln(\frac{a+bU_f}{a+bU_0})$
ג) באופן איכותי, כאשר קיים גרר, באיזה מקרה הטווח יהיה גבוהה יותר, בזווית של 35° או 55°?

07_Kinematics/e_07_4_003.html

מרחק בלימה

נהג מתקרב לרמזור במהירות $V_0=100 \frac{km}{hr}$ , כאשר "לפתע" (כך לפחות הוא טוען...) התחלף האור לכתום.
א) נתון כי זמן התגובה האנושי הוא $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ , מקדם החיכוך בין הגלגלים לכביש הוא $\mu_{kD}=0.8$ . מה הוא המרחק המינימאלי $S_{min}$ מהצומת, שבו צריך להימצא הנהג כך שהוא יספיק לעצור לפני הרמזור?
ב) בהנחה שהאור הכתום דולק במשך 1.5 לפני שהוא מתחלף לאדום, ושרוחב הצומת היא 25 מטרים, מה הוא המרחק המקסימאלי $S_{max}$ שבו על הנהג להימצא כדי שיספיק לחצות את הצומת לפני שהאור מתחלף לאדום?
ג) פי כמה תשתנה התשובה לסעיף א' כאשר יורד גשם והכביש רטוב?
(מקדם החיכוך בין הגלגלים לאספלט הרטוב הוא $\mu_{kW}=0.25$ )

07_Kinematics/e_07_4_004.html

גלגלות

נתונה המערכת המתוארת באיור הבא: $m_1=10 kg ,\alpha=37^\circ$ וכמו"כ נתון כי הגלגלות והחוטים חסרי מסה וחיכוך.
א) מצא/י את $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ כך שהמערכת תישאר במנוחה
ב) אם נתון כי $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ , מה ,תהיינה תאוצות הגופים

07_Kinematics/e_07_4_005.html

תנועה במימד אחד

אופנוע ומכונית מתחילים את תנועתם ב t=0
נתון מיקום האופנוע ע"י המשוואה: $R$
נתון מיקום המכונית ע"י המשוואה: $R$
א)מהם המיקומים והמהירויות ההתחלתיות של האופנוע והמכונית?
ב)באיזה זמן משנה הופנוע את כיוון ההתקדמות ?
ג)מהוא המרחק בין המכונית לאופנוע כפונקציה של הזמן?
ד)מתי הם נפגשים?
ה)צירו גרפית את $R$ ופתרו בעזרתם את סעיפים ג ו ד

07_Kinematics/e_07_4_006.html

נפילה חופשית

07_Kinematics/e_07_4_007.html

תאוצה משתנה

חלקיק מאיץ ממנוחה בתאוצה $R$ נתון שלאחר 3 שניות החלקיק נמצא במרחק $R$ מהראשית.
חשבו את מיקום החלקיק כפונקציה של הזמן.

07_Kinematics/e_07_4_008.html

קינמטיקה

כדור נזרק מהראשית במהירות $x(t)$ בזווית $x(t)$ מעל ציר x , צופה מודד את המרחק שהכדור פגע בקרקע.
הצופה מדד מרחק d מהראשית. מצאו את $x(t)$ .
מהו $x(t)$ עבורו d מקסימלי?
כמה פתרונות יש עבור $x(t)$ ?
מצאו את משוואת המסלול של הכדור $x(t)$

נתון תאוצת הכובד g כלפי מטה.

07_Kinematics/e_07_4_009.html

קינמטיקה

חלקיק מוגבל לנוע על מעגל ברדיוס R.
נתון שגודל המהירות של החלקיק $x(t)$
מצאו את משוואת המיקום והתאוצה של החלקיק.

07_Kinematics/e_07_4_010.html

תנועה מעגלית

חלקיק מוגבל לנוע על מעגל ברדיוס R.
נתון שגודל המהירות של החלקיק $x(t)$
מצאו את משוואת המיקום של החלקיק.

07_Kinematics/e_07_4_011.html

חלקיק נע על מעגל

חלקיק נע על מעגל ברדיוס 3m. בזמן t=0 החלקיק חולף דרך נקודה (5,4) ביחס לראשית הצירים O.
נתון כי מרכז המעגל נמצא ב-(5,7), המהירות הזוויתית היא $\omega = \frac{2\pi}{20} \frac{rad}{sec}$ מצא/י:

וקטור מיקום של החלקיק בכל זמן.
וקטור מהירות של החלקיק בכל זמן.
וקטור תאוצה של החלקיק בכל זמן.
המהירות הממוצעת בין $s$ ל $s$ .
תחום הזויות בו נע וקטור המקום.
תחום הגדלים בו נמצא וקטור המקום.

07_Kinematics/e_07_4_012.html

תנועה יחסית

שלג יורד בכיוון אנכי במהירות $x(t)$ .
נהג נוסע במהירות $x(t)$ בכיוון אופקי,
חשבו באיזו זווית יראה הנהג את השלג הנופל.

07_Kinematics/e_07_4_013.html

גשם על רכבת

רכבת נוסעת מזרחה במהירות של 15 מטר לשניה . טיפות גשם הנופלות אנכית יחסית לכדור הארץ, מתוות על זגוגית חלונות הרכבת עקבות
הנטויות בזווית של 30 מעלות לאנך (יחסית לנוסע ברכבת).מצא
א- מהו הרכיב האופקי של מהירות הטיפות יחסית לארץ ? יחסית לרכבת ?
ב- מהי מהירות הטיפות יחסית לארץ ? יחסית לרכבת ?

07_Kinematics/e_07_4_014.html

ירי קליע

קליע נורה במהירות $R$ ובזוית $R$
מעל ציר ה $R$ , מטנק הנוסע במהירות $R$ בכיוון ההפוך לכיוון תנועת הקליע.
תאוצת הכבידה היא $R$
א. כעבור כמה זמן יגיע הקליע לגובהו המקסימלי.
ב. מה יהיה מרחק הפגיעה של הקליע ביחס לנקודת הירי.
טנק שני, נייח, יורה מאותה נקודה ובאותה מהירות התחלתית.
ג. מה צריכה להיות זוית היריה שלו על מנת שטווח הפגיעה יהיה זהה?

07_Kinematics/e_07_4_015.html

תנועה יחסית

מקרונית באורך $x(t)$ העולה במהירות $x(t)$ במעלה מישור משופע כבציור
זורקים כדור במהירות $x(t)$ בכיוון אנך למישור המשופע.
מצא את גודלה המקסימלי של $x(t)$ כך שהכדור יפול חזרה בתוך הקרונית
נתונה תאוצת הכובד $x(t)$

07_Kinematics/e_07_4_016.html

תנועה יחסית

נהר זורם בזווית $x(t)$ מעל ציר x מהירות הזרימה $x(t)$ רוחב הנהר d, סירה שטה מצד ימין לשמאל לפי החץ האדום נתון שהמרחק שהסירה עוברת בציר y הוא L

מצאו את כיוון מהירות הסירה ביחס לנהר אם נתונה מהירות הסירה $x(t)$

07_Kinematics/e_07_5_021.html

קינמטיקה

מהירותו של רץ באימון נתונה בגרף הבא:

א. מהו המרחק אותו רץ הרץ באימונו ?
ב. בטא/י את $x(t)$ (מיקום הרץ כתלות בזמן), שרטט/י גרף של $x(t)$ כנגד t.
ג. מהי המהירות הממוצעת של הגוף ב-10 השניות הראשונות ?
ד. מה צבע האימונית (" טרלינג" ) של הרץ ?

07_Kinematics/e_07_5_022.html

קינמטיקה

אבן נופלת מגובה 100 מטרים (מתחילה ממנוחה).
א. מה תהיה מהירותה ומרחקה מהקרקע אחרי שניה ?
ב. מהו זמן הנפילה הכולל ?
ג. מה תהיה מהירותה ברגע הפגיעה בקרקע ?
ברגע עזיבת האבן זורקים כלפי מעלה סלע, במהירות התחלתית של 3 מ\ש.
ד. מהו הגובה המכסימלי אליו יגיע הסלע ?
ה. מי יגיע לקרקע קודם האבן או הסלע ?

07_Kinematics/e_07_5_023.html

קינמטיקה

מיקום של חלקיק נתון ע" י וקטור המקום: $\vec r(t)=t^2\hat x -3t\hat y+(2+3t-4.9t^2)\hat z$
א. מצא/י את מהירות החלקיק כתלות בזמן. מהי המהירות ההתחלתית ?
ב. מצא/י את תאוצת החלקיק כתלות בזמן.
ג. מה ערכם של $|\vec \nu|$ ו $|\vec a|$ בזמן $t=0$ ?

07_Kinematics/e_07_5_024.html

קינמטיקה

כדור שלג מחליק במורד גג הנטוי בזווית של 40⁰ כמוראה. גובה הגג 14 מטרים ומהירות עזיבת הכדור את הגג 8 מ\ש.
א. באיזה מרחק מהקיר יפגע הכדור בקרקע ?
ב. אדם שגובהו 2 מטרים עומד במרחק 6 מטרים מהקיר. האם הוא יחטוף ?

07_Kinematics/e_07_5_025.html

קינמטיקה

אדם עומד על קרונית הנעה במהירות קבועה של 9.1 מ\ש. הוא מעוניין לזרוק כדור כך שיעבור דרך חישוק הנמצא 4.9 מטרים מעל הנקודה ממנה הכדור עוזב את ידו. לא רק זה, הוא גם מעוניין שהכדור יעבור אופקית דרך החישוק. מהירות זריקת הכדור (יחסית לאדם הזורק) היא 10.8 מ\ש.
באיזה מרחק אופקי צריך האדם לשחרר את הכדור ?

07_Kinematics/e_07_5_026.html

קינמטיקה

שחקן כדורסל מחזיק בידו כדורסל וזורק אותו לסל ממרחק של $5m$ . גובה הסל הוא $0.75 m$ מעל ידי השחקן וזווית הזריקה היא $55^{o}$ .
א. מהי מהירות הזרקה לסל?
ב. מהי מהירות הכניסה לסל? (גודל וזווית)

07_Kinematics/e_07_5_033.html

קינמטיקה

חלקיק נע לאורך ציר x על פי הביטוי: $x=6+2t+5t^2$
א. מצא/י את תאוצתו של הגוף?
ב. מהי מהירותו ההתחלתית (ב- t=0) של הגוף, ומהו מיקומו ההתחלתי?
ג. מצא/י ביטוי כללי למהירותו של הגוף כתלות בזמן t.
ד. מהי מהירותו בזמן t = 4 sec ?

07_Kinematics/e_07_5_034.html

קינמטיקה

בכניסה לבאר שבע, ברחוב רגר, שני רמזורים ברצף. המרחק ביניהם הוא 500 מטרים.
מכונית נוסעת במהירות קבועה וחוצה את הרמזור הראשון ברגע שבו הוא מתחלף לירוק.
זמן המופע של כל אחד מהרמזורים הוא 30 שניות. (נניח שלרמזור רק שני מצבים- אדום וירוק, נתעלם מהצהוב שביניהם.)
הרמזור השני הופך ירוק 6 שניות אחרי שהראשון הפך ירוק.
מצאו את תחום המהירויות הקבועות בקמ"ש (בתחום הפחות או יותר סביר שבין 40 ל70 קמ"ש) שעל המכונית לנסוע כדי לתפוס "גל ירוק", כלומר, לעבור את שני הרמזורים ברצף.
(נניח בשאלה זו שהמכונית נמצאת לבד על הכביש, ויכולה לנסוע במהירות קבועה)

07_Kinematics/e_07_5_035.html

קינמטיקה

מהירותו של רץ באימון נתונה בגרף הבא:

א. מהו המרחק אותו רץ הרץ באימונו ?
ב. בטא/י את $x(t)$ (מיקום הרץ כתלות בזמן), שרטט/י גרף של $x(t)$ כנגד t.
ג. מהי המהירות הממוצעת של הגוף ב-10 השניות הראשונות ?
ד. שרטט באופן סכמטי גרף המתאר את תאוצת הרץ כפונק' של הזמן?

07_Kinematics/e_07_6_001.html

קינמטיקה

אלקטרון במהירות V נכנס לשדה מגנטי B נתון שהשדה גורם לאלקטרון לתאוצה בניצב לכיוון התקדמותו בגודל $c=2.99*10^8 [m/s]$
נתון שהמרחק בציר x שהאלקטרון בער בתוך השדה הוא d.
מצאו את המרחק שהאלקטרון עבר בציר y.
מצאו את ההיסט בכיוון התקדמותו של האלקטרון.

07_Kinematics/e_07_6_002.html

קינמטיקה

נתונה תאוצת חיכוך של כדור באוויר $c=2.99*10^8 [m/s]$
כדור נזרק במהירות $c=2.99*10^8 [m/s]$ בזווית $c=2.99*10^8 [m/s]$ מעל ציר x
מצו את $c=2.99*10^8 [m/s]$ $c=2.99*10^8 [m/s]$

07_Kinematics/e_07_8_008.html

Kinematics

A particle leaves the origin at t = 0 with an initial velocity v_o = (3.6 m/s)i. It experiences a constant acceleration a = (-1.2 m/s²)i – (1.4 m/s²)j.
(a) At what time does the particle reach its maximum x coordinate?
(b) What is the velocity of the particle at this time?
(c) Where is the particle at this time?

07_Kinematics/e_07_8_022.html

קינמטיקה

אצן אולימפי מקווה לסיים את ריצת 5000 המטרים בפחות מ- 13 דקות. אם לאחר 11 דקות של ריצה במהירות קבועה נשארו לו 800 מטרים לסוף המסלול, ותאוצתו המקסימלית היא 0.2 [m/sec²] מהו הזמן המינימלי שעליו להאיץ ע" מ לעמוד בזמן של 13 דקות.

07_Kinematics/e_07_8_023.html

קינמטיקה

חלקיק " משוגע" נע לאורך ציר x על פי הביטוי: $x=6+2t+5t^2$
א. מצא/י את תאוצתו של הגוף?
ב. מהי מהירותו ההתחלתית (ב- t=0) של הגוף, ומהו מיקומו ההתחלתי?
ג. מצא/י ביטוי כללי למהירותו של הגוף כתלות בזמן t.
ד. מהי מהירותו בזמן $t = 4 [sec]$ ?
ה. גוף אחר, לא פחות משוגע, מאיץ לאורך הציר על פי הביטוי: $a=3t+2$ . מצא/י ביטוי להעתק הגוף $x(t)$ כאשר v(t = 0) = 1 m/sec וכן x(t = 0) = 5 m .

07_Kinematics/e_07_8_024.html

קינמטיקה

07_Kinematics/e_07_8_044.html

Kinematics
The velocity of a particle moving in the xy plane is given by v = [(6.0m/s2)t - (4.0 m/s3)t2]i + (8.0 m/s)j.
Assume t > O.
(a) What is the acceleration when t = 3 s?
(b) When (if ever) is the acceleration zero?
(c) When (if ever) is the ve¬locity zero?
(d) When (if ever)does the speed equal 10 m/s?

07_Kinematics/e_07_8_045.html

Kinematics
A particle is moving in the xy plane with velocity v(t) = vx(t)i + vy(t)j and acceleration a(t) = ax(t)i + ay(t)j.
By taking the appropriate derivative, show that the magnitude of v can be constant only if axvx + ayvy = 0.

07_Kinematics/e_07_8_046.html

Kinematics
The legal speed limit on a highway is changed from 55 rni/h (= 88.5 km/h) to 65 rni/h (= 104.6 km/h).
How much time is thereby saved on a trip from the Buffalo entrance to the New York City exit of the New York State
Thruway for someone traveling at the higher speed over this 435-mi (= 700-km) stretch of highway?

07_Kinematics/e_07_8_047.html

Kinematics
A car travels up a hill at the constant speed of 40 km/h and returns down the hill at the speed of 60 km/h. Calculate the average speed for the round trip.

07_Kinematics/e_07_8_048.html

Kinematics
An iceboat sails across the surface of a frozen lake with constant acceleration produced by the wind.
At a certain instant its velocity is 6.30i - 8.42j in m/s.
Three seconds later the boat is instantaneously at rest.
What is its acceleration during this interval?

07_Kinematics/e_07_8_049.html

Kinematics

A particle moves so that its position as a function of time is

r(t) = Ai + Bt²j + Ctk
where A = 1.0 m, B = 4.0 m/s², and C = 1.0 m/s.

Write expressions for

(a) its velocity and

(b) its acceleration as functions of time.

(c) What is the shape of the particle's trajectory?

07_Kinematics/e_07_8_050.html

Kinematics
A ball rolls off the edge of a horizontal tabletop, 4.23 ft high. It strikes the floor at a point 5.11 ft horizontally away from the edge of the table.
(a) For how long was the ball in the air?
(b) What was its speed at the instant it left the table?

07_Kinematics/e_07_8_051.html

Kinematics

You throw a ball from a cliff with an initial velocity of 15 m/s at an angle of 20º below the horizontal. Find

(a) its horizontal displacement and

(b) its vertical displacement 2.3 s later.

07_Kinematics/e_07_8_052.html

Kinematics
Show that the maximum height reached by a projectile is y_max= (v_o sin φ)²/2g, where g = 9.8 m/s² φ is the angle
between the initial trajectory and the plane of the ground.

07_Kinematics/e_07_8_053.html

Kinematics
A ball rolls off the top of a stairway with a horizontal velocity of magnitude 5.0 ft/so The steps are 8.0 in. high and 8.0 in. wide.
Which step will the ball hit first?

07_Kinematics/e_07_8_054.html

Kinematics
A person walks up a stalled l5-m-long escalator in 90 s. When standing on the same escalator, now moving, the person is carried up in 60 s.
How much time would it take that person to walk up the moving escalator?
Does the answer depend on the length of the escalator?

07_Kinematics/e_07_8_055.html

Kinematics
A transcontinental flight at 2700 mi is scheduled to take 50 min longer westward than eastward.
The air speed of the jet is 600 mi/h.
What assumptions about the jet-stream wind velocity, presumed to be east or west, are made in preparing the schedule?

07_Kinematics/e_07_8_056.html

Kinematics
A certain airplane has a speed of 180 milh and is diving at an angle of 27° below the horizontal when a radar decoy is released.
The horizontal distance between the release point ilnd the point where the decoy strikes the ground is 2300 ft.
(a) How long was the decoy in the air?
(b) How high was the plane when the decoy was released? See the figure below.

07_Kinematics/e_07_8_057.html

Kinematics

A particle A moves along the line y = d (30 m) with a constant velocity v (v = 3.0 m/s) directed parallel to the positive x axis

in the figure below. A second particle B starts at the origin with zero speed and constant acceleration a (a = 0.40 m/s²)

at the same instant that particle A passes the y axis.

What angle θ between a and the positive y axis would result in a collision between these two particles?

07_Kinematics/e_07_8_058.html

Kinematics

A ball is dropped from a height of 39.0 m. The wind is blowing horizontally and imparts a constant acceleration of 1.20 m/s² to the ball.

(a) Show that the path of the ball is a straight line and find the values of R and θ in the figure below.

(b) How long does it take for the ball to reach the ground?

(c) With what speed does the ball hit the ground?

07_Kinematics/e_07_8_059.html

Kinematics
You throw a ball with a speed of 25.3 m/s at an angle of 42.0° above the horizontal directly toward a wall as shown in the figure below.
The wall is 21.8 m from the release point of the ball.
(a) How long is the ball in the air before it hits the wall?
(b) How far above the release point does the ball hit the wall?
(c) What are the horizontal and vertical components of its velocity as it hits the wall?
(d) Has it passed the highest point on its trajectory when it hits?

07_Kinematics/e_07_8_060.html

Kinematics
A projectile is fired from the surface of level ground at an angle φ_o above the horizontal.
(a) Show that the elevation angle θ of the highest point as seen from
the launch point is related to φ_o by tan θ = (1/2) tan φ_o.
(b) Calculate θ for φ_o = 45°.

07_Kinematics/e_07_8_061.html

חץ ומטרה

קשת יורה חץ לעבר תפוח במרחק ידוע ובגובה ידוע.
באיזו זוית עליו לכוון את הקשת אם ברגע הירייה התפוח החל בנפילה חופשית

10_Newton/e_10_1_011.html

weight of a passenger

A plane takes off with the acceleration $0.5|g|$ at the angle $30^\circ$ to the horizon. What is the weight of the 75 kg passenger ?

10_Newton/e_10_1_012.html

Inertial and noninertial reference frames

What should be the length of the day on Earth to compensate the gravity at the equator ?

10_Newton/e_10_1_013.html

Inertial and noninertial reference frames

A body starts moving with the velocity $v$ from the center of the rotating disk (angular velocity $\omega$ ). There are no external forces. Describe the motion from the point of view of the rotating observer.

10_Newton/e_10_1_014.html

Inertial and noninertial reference frames

What is the weight of a standing 1000 kg car on the equator ? What is its weight if it is moving in the east direction with the velocity 300 km/hour ?

10_Newton/e_10_1_015.html

Inertial and noninertial reference frames

A biker enters a quarter-circle turn of the radius $R$ with the velocity $v$ . What is the angle between the biker's body and the vertical ?

10_Newton/e_10_1_016.html

Inertial and noninertial reference frames

A body hangs on a rope from the ceiling in a standing train. The train starts moving with the acceleration $a$ . What is the angle between the rope and the vertical ?

10_Newton/e_10_1_017.html

Inertial and noninertial reference frames

A body hangs on a rope from the ceiling in a rotating (angular velocity $\omega$ ) cell. The distance from the rotation center is $r$ . What is the angle between the rope and the vertical ?

10_Newton/e_10_1_018.html

Inertial and noninertial reference frames

A horizontal carousel rotates with the angular velocity $\omega$ . What is the weight of a person who sits at the radius $R$ ?

10_Newton/e_10_1_019.html

Inertial and noninertial reference frames

A project of a space station suggests rotation in order to produce artificial gravity. If the diameter of the station is 20 m, what should be the rotation period in order to produce the gravity equivalent to $0.5 g$ ?

10_Newton/e_10_1_020.html

Inertial and noninertial reference frames

A body is moving along $x$ axis with constant velocity $v_x$ in the inertial (standing) frame. Write down $x'(t)$ and $y'(t)$ in the rotating frame. What is the direction of acceleration as a function of time in the rotating frame ?

10_Newton/e_10_1_021.html

Inertial and noninertial reference frames

A body falls with the velocity $v=g\tau [1-\exp (-t/\tau)]$ (because of the air drag force). Write down the second Newton law in its frame.

10_Newton/e_10_1_022.html

A body (mass $m$ ) is thrown horizontally with the initial velocity $\vec {v}_0$ . The air friction force is $\vec {F}_f=-k\vec {v}$ , where $k=\text{const}$ and $\vec {v}$ is the body velocity. Find $\vec {v}(t)$ and $\vec {r}(t)$ .

10_Newton/e_10_1_034.html

Particle dynamics, Newton laws

Force $F_x=F_0\sin^2(\omega t)$ acts on a particle (mass $m$ ) which is initially at rest. Find $\vec {v}(t)$ and $\vec {r}(t)$ .

10_Newton/e_10_1_035.html

A charged particle (mass $m$ , charge $q$ , velocity $v$ ) enters a cylinder with the length $l$ . The entry point is at the cylinder axis, and the particles enters at the angle $\alpha$ to the axis. There is a homogeneous magnetic field along the axis inside the cylinder. At what distance from the axis the particle leaves the cylinder ?

10_Newton/e_10_1_039.html

Particle dynamics, Newton laws

A charged particle (mass $m$ , charge $q$ ) is at rest in an homogeneous magnetic field $\vec {B}=(0,0,B)$ . Suddenly, at $t=0$ an electric field $\vec {E}=(0,E,0)$ is switched on. The electric field is suddenly switched off at $t=T/2$ , where $T=2\pi/(|q|B/m)$ . Describe the motion of the particle. What is its final energy ?

10_Newton/e_10_1_040.html

Particle Dynamics, Newton's Laws

A particle of mass $m$ is at rest on top of a sphere. Suddenly it starts to slide.
(a) At which point it will leave the sphere?
(b) What is its velocity at that point?

10_Newton/e_10_1_041.html

Newton Laws

For the setting in the figure find the tension in each rope.

10_Newton/e_10_1_042.html

Newton Laws

The Atwood's Machine is composed of two unequal masses $\left(m_2>m_1\right)$ hunging on inflexible string
from frictionless and massless pulley.

What is the tension in the string? If the string was hunging from the ceiling was is the mass that it can carry?

10_Newton/e_10_1_043.html

Particle Dynamics and Newton's Laws

A body free-fall in a presence of a drag force in the form $\vec{F}_{drag}=-cv^2\hat{v}$ ,
where $c=Const$ .

1. Draw the force diagram for the body during the free-fall.
2. Find the equation of motion of the body.
3. What is the terminal velocity, $v_t$ , of the body. The terminal velocity reached when the body is in equilibrium.
4. Find the body velocity as a function of time. Assume $v(0)=0$ .

10_Newton/e_10_1_044.html

Particle Dynamics and Newton's Laws

On a circular hoop with radius $l$ there is a bead that can move freely without friction.
The hoop is rotated in a constant frequency $\omega$ around the horizontal axis.
1. What are the forces that act on the bead in equilibrium.
2. Find the angle $\theta$ in that state as a function of $\omega$ .
3. What should be $\omega$ in order to move the bead to the center of the hoop? can the bead move beyond the center of the hoop?

10_Newton/e_10_1_045.html

Particle Dynamics and Newton's Laws

A particle with mass $m$ move in a magnetic field $\vec{B}=B_0\hat{z}$ , where $B_0=Const$ .
Its initial velocity is $\vec{v}=(v\sin\alpha,0,v\cos\alpha)$ .
Find curvature radius.

10_Newton/e_10_1_046.html

Particle Dynamics and Newton's Laws

A mass $m$ is placed inside an upside down cone with an opening angle of $2\theta$ .
The cone is rotated around it's symmetry axis in a constant angular velocity $\omega$ .
The friction coefficient between the mass and the cone is $\mu_s$ and the mass is at height $h$ from the head of the cone.
What are the maximal and minimal angular velocities in which the mass will stay in that height?

10_Newton/e_10_1_047.html

חוקי ניוטון

כוח של 20 ניוטון פועל בזווית של 30 מעלות מעל ציר x על גוף שמסתו 4 ק"ג. הגוף מונח על משטח חלק.
א. מהי תאוצת הגוף
ב. תוך כמה זמן יעבור הגוף מרחק של 10 מטר אם התחיל ממנוחה

10_Newton/e_10_1_048.html

חוקי ניוטון

גוף ששוקל 20 ק"ג נמצא על משטח משופע בזווית של 30 מעלות וללא חיכוך
א. מה גודלו של הכוח שהמישור מפעיל על הגוף
ב. מהי תאוצת הגוף

10_Newton/e_10_1_049.html

חוקי ניוטון

שתי משקולות תלויות ע"י חבל על גלגלת חסרת חיכוך ומסה. משקולת אחת שוקלת 10 ק"ג והשנייה 20 ק"ג. בזמן t = 0 מקנים למשקולת של ה- 10 ק"ג מהירות של 5 מטר לשנייה כלפי מטה.
א. מתי תחזור המשקולת של ה- 10 ק"ג לנקודת ההתחלה?
ב. מה תהיה מהירותה ברגע החזרה?
ג. מה המרחק המקסימלי שהמשקולת תגיע מתחת לנקודת ההתחלה?

10_Newton/e_10_1_050.html

חוקי ניוטון

שני אנשים רוצים למתוח חבל שאורכו 20 מטר כדי להרים משא של 1 ק"ג התלוי במרכז.
האנשים יכולים להפעיל כוח משיכה מקסימלי של 300 ניוטון וגובה הידיים שלהם מהריצפה הינו 1 מטר.
מה יהיה גובה המשא מהריצפה? מצאו דרכים יותר אפקטיביות (בעזרת אותם האמצעים)?

10_Newton/e_10_1_051.html

חוקי ניטון

קרון נוסע במהירות 40 מטר לשנייה. על הקרון מונחת קופסא. מקדם החיכוך בין הקופסא לקרון הינו $\mu _s = 0.3$ .
מה המרחק המינמלי לפני נקודת העצירה שהקרון חייב להתחיל ולהאט (בתאוצה קבועה) אם ברצונו לעצור מבלי שהקופסא תחליק.

10_Newton/e_10_1_052.html

חוקי ניטון

גוף נמצא על מישור בעל זווית משתנה $\theta$ . בהתחלה $\theta = 0$ ולאט לאט מגדילים את הזווית.
א. באיזה זווית הגוף יתחיל להחליק.
ב. עבור הזוויות $%2045%5E%5Ccirc$ ו- $%2060%5E%5Ccirc$ מה תהיה תאוצתו ?
נתון $\mu _s = 0.3$ , $%5Cmu%20_k%20=%200.1$ , $m = 5 kg$

10_Newton/e_10_1_053.html

חוקי ניטון

קרונית נוסעת ימינה בתאוצה a. מה צריכה להיות התאוצה a כדי שגוף שצמוד לקרונית מימין (ראה ציור) לא יחליק. בטא את התשובה בעזרת $%5Cmu%20_s$ .

10_Newton/e_10_1_054.html

חוקי ניטון

קליע רובה שמסתו 5 גרם יוצא מלוע של קנה רובה שאורכו 50 ס"מ במהירות של 800 מטר לשנייה. אם התאוצה בקנה קבועה מה גודלו של הכוח שפועל על הקליע ?

10_Newton/e_10_1_055.html

חוקי ניוטון

מפילים גוף שמתחיל ממצב מנוחה. כוח התנגדות האויר הינו : $\vec{F}_{friction}=-k\vec{v}$ .
מצא את המהירות (v(t, התאוצה (a(t, ואת הכוח (F(t. מה יקרה לכוח כאשר $t \rightarrow \infty$ .

10_Newton/e_10_1_056.html

חוקי ניוטון

גוף מחליק על פני משטח בקו ישר בכיוון ציר x. מיקומו ההתחלתי (בזמן t = 0) הוא x = 0 ומהירותו ההתחלתית היא $v = v_0$ . הגוף נעצר לאחר שעבר מרחק L כתוצאה מהחיכוך עם המשטח.
א. כמה זמן לקח לגוף לעבור את המרחק L עד שנעצר?
ב. הראה.הראי שמקדם החיכוך הקינטי נתון על ידי הביטוי $\mu_k=v_0^2/2gl$ .

10_Newton/e_10_1_057.html

תנועה מעגלית

מכונית נטוסעת בלילה חרפי ומגיע לעיקול בכבישץ רדיוס העיקול הוא 320 מטר וזווית הטיית הכביש היא $5.1^{\circ}$ .לרוע מזלו של הנהג הכביש מכוסה שכבת קרח.
א. בהנחה שאין חיכוך בין צמיגי הגלגלים והכביש, מה צריכה להיות מהירות המכונית על מנת שלא תחליק בעיקול?
ב. מה יקרה אם מהירות המכונית תהיה גבוהה מהערך המחושב בסעף א', ומה יקרה אם המהירות תהיה נמוכה מערך זה?

10_Newton/e_10_1_058.html

תנועה מעגלית

רוטור של מסוק רדיוסו 10 מטר.
א. מה צריכה להיות המהירות הזויתית שלו כדי שקצה הרוטור יגיע למהירות הקול (1224 ק"מ לשעה).
ב. מצא את התדירות וזמן המחזור.
ג. מה מהירותה הקווית של נקודה הנמצאת באמצע להב הרוטור?

10_Newton/e_10_1_059.html

תנועה מעגלית

רוצים לסובב אבן על חוט . מסת האבן 10 גרם ואורך החוט 40 ס"מ. המתיחות המקסימלית המותרת לפני קריעה הינה 160 ניוטון.
מהי המהירות המקסימלית המותרת ? מהו זמן המחזור ?

10_Newton/e_10_2_001.html

נפילה מכדור פורח

טום וג'רי נמצאים בכדור פורח היורד במהירות קבועה של 1.88m/s. סה"כ מסתם ומסת הכדור פורח היא 1080 kg. על הכדור פועל כוח עילוי קבוע של 10.3kN כלפי מעלה, בנוסף מפעיל האוויר כוח גרר $D = b v^2$ . ברגע מסוים זורק טום את ג'רי מהכדור (מסיבותיו הוא...), כאשר מסתו היא 72.5kg. ברגע זה משתנה מהירות הכדור, אולם בגלל הגרר מתייצבת המהירות (לאחר זמן מסוים) על מהירות קבועה חדשה. מצא/י את מהירות הכדור כאשר הוא מגיע למהירות קבועה.

10_Newton/e_10_2_002.html

פועל בקרונית

נתון פועל היושב בקרונית התלויה על גבי חבל העובר דרך גלגלת (חסרת חיכוך שמותקנת בתקרה) ויורד חזרה לידיו של הפועל. מסת הקרונית והפועל היא 95kg.

מצא/י באיזה כוח צריך למשוך הפועל את החבל כדי לעלות למעלה במהירות קבועה.
מצא/י באיזה כוח צריך למשוך הפועל את החבל כדי לעלות למעלה בתאוצה של 1.3m/s2.

10_Newton/e_10_2_003.html

מציאת מסילת תנועתו של הגוף דרך שדה כוח נתון

גוף נע דרך שדה כוח שמשוואתו היא $\vec F = (0.5x - 2 \dot x) \hat x + 0.5 \dot y \hat y [N]$ .
הגוף נכנס לשדה במהירות של $\vec V_0 = 10 \hat x + 5 \hat y [m/s^2]$ .

מצא/י את מסילת תנועתו של הגוף דרך השדה.
שרטט/י מסילה זו (Mathematica , Matlab etc.).
מה יהיה מיקום הגוף לאחר חצי דקה?

10_Newton/e_10_2_004.html

חבל משתלשל

חבל אחיד שאורכו L=1.5m מונח על גבי שולחן אופקי חלק. קטע באורך b=15cm משתלשל כמתואר בתרשים. ברגע מסוים מרפים מהחבל ממנוחה והוא גולש כלפי מטה בהשפעת כוח הכובד.

חשב/י את מהירות החבל ברגע בו קצהו ניתק מהשולחןכמה זמן יעבור עד רגע התנתקות החבל מהשולחן?

10_Newton/e_10_2_005.html

החלקה על מישור משופע

גוף הנמצא על פני מישור משופע בזווית α נהדף במהירות אופקית התחלתית V0. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לבין המישור הוא $\mu_k$ המישור נבנה כך ש- $\mu_k = \tan{\alpha}$

מה יהיו רכיבי התאוצה בכיוונים x ו- y, כשכיוון המהירות יצור זווית θ עם כיוון ציר ה-x?
מה יהיה רכיב התאוצה המשיקית כפונקציה של θ ?
מהי המהירות כפונקציה של θ, ומהי המהירות כאשר $t \rightarrow \infty$

10_Newton/e_10_2_006.html

אחיזת גלגלים בכביש

מה הוא מרחק הבלימה של רכב הנוסע במהירות של 100 קמ"ש, כאשר מקדם החיכוך בין הגלגלים לכביש הוא 0.8 ? כמו כן ידוע כי זמן התגובה הממוצע הוא 0.65 שניות.
פי כמה עולה מרחק הבלימה כאשר יורד גשם והכביש רטוב?(מקדם החיכוך בין הגלגלים לאספלט הרטוב הוא 0.25)

10_Newton/e_10_2_007.html

מסה מונחת על שולחן אופקי הנע במהירות זוויתית

מסה m1=0.5 kg מונחת על שולחן אופקי הנע במהירות זוויתית $\omega = 5 \frac{rad}{sec}$ סביב צירו. מקדם החיכוך הסטטי בין m1 לשולחן הוא 0.6. חוט חסר מסה מחבר את m1 עם m2=3.2 kg (התלויה במרכז השולחן) דרך גלגלת חסרת מסה וחיכוך

מצא/י תחום לגודלו של החלק של החוט הנמצא במצב אופקי (R), עבורו תישאר מסה m1 במנוחה ביחס לשולחן.
באיזו מהירות זוויתית מינימלית יש לסובב את השולחן כאשר המסה m1 נמצאת במרחק R0 ממרכזו , כדי שהיא תתחיל לנוע החוצה?

10_Newton/e_10_2_008.html

נסיעת רכבת לאורך עיקול

רכבת מהירה יכולה לנסוע במהירות מקסימלי של 310 קמ"ש.

אם הרכבת נוסעת במהירותה המקסימלית לאורך עיקול, מה הוא רדיוס העיקול המינימלי כך שהנוסעים לא ירגישו תאוצה הגדולה -מ0.05g ?
נתון שמקדם החיכוך בין גלגלי הרכבת לפסי הברזל הוא 0.6. איזה שיפוע יש לתת למסילה כך שהרכבת לא תתהפך בעיקול ברדיוס 3 ק"מ?

10_Newton/e_10_2_009.html

סחרור אבן על חוט

נער העומד על גדר מסחרר במעגל אנכי אבן שמסתה m הקשורה בחוט. רדיוס מעגל הסיבוב הוא R, והמתיחות המקסימלית שהחוט יכול לשאת היא T.

בכמה סיבובים לדקה חייב הנער לסחרר את האבן כדי שהחוט יקרע?
נתון כי גובה מרכז המעגל מעל לקרקע הוא h. באיזה מרחק אופקי מן מהנער תפגע האבן בקרקע?

10_Newton/e_10_2_012.html

כוחות מדומים

מסה $m$ מונחת על גבי מישור משופע בזוית $alpha$ , המאיץ ימינה בתאוצה קבועה $a$ .
מקדם החיכוך הקינטי בין המסה והמישור המשופע הוא $mu_k$ .
מהי תאוצת המסה ביחס למישור המשופע?

10_Newton/e_10_2_013.html

עבודה

מסה $m$ נעה במישור ומיקומה בזמן נתון בביטוי
$\vec{r}(t)=a\cos(\omega t)\hat{i}+b\sin(\omega t)\hat{j}$ , $a, \ b, \ \omega$ קבועים וחיוביים.
א. הראה/י כי צורת מסלולו של החלקיק היא אליפסה.
ב. הראה/י כי הכוח הפועל על החלקיק מופנה תמיד לכיוון מרכז האליפסה.
ג. מהי העבודה המבוצעת על החלקיק כאשר הוא נע מהנקודה $(a,0)$ לנקודה $(0,b)$ ?
ד. מהי העבודה במקרה הפרטי $a=b$ ? הסבר/י!

10_Newton/e_10_2_014.html

תרגיל

א. איזה מהכוחות הבאים הם כוחות משמרים (רמז: לא מספיק לבדוק שהרוטור מתאפס)
$F_1(x,y) = x^2\hat{x}+y^2\hat{y}$
$F_2(x) = y \hat{x}+x\hat{y}$
$F_3(x,y)=-\frac{x\hat{x}+y\hat{y}}{\sqrt{x^2+y^2}}$
$F_4(x,y)=\frac{x\hat{y}-y\hat{x}}{x^2+y^2}$
ב.מהי העבודה הנעשית על כוחות אלה על-פני מסלול מעגלי סביב הראשית, כנגד כיוון השעון?

10_Newton/e_10_2_015.html

עבודה ואנרגיה

שלוש מסות מחוברות כמתואר באיור. כל המשטחים חלקים והמסות נוגעות זו בזו. מסת החוט והגלגלת זניחות.
א. מה גודלו וכיוונו של הכח F כדי שהמסה השניה תשאר במנוחה ביחס לראשונה?
ב. מה הן תאוצות המסות כאשר F=0?
רמז: מהם הכוחות הפועלים על הגלגלת? מהו הכוח השקול הפועל על הגלגלת?

10_Newton/e_10_2_108.html

כוח חיכוך דינמי

חלקיק נע בקו ישר תחת פעולת כוח חיכוך דינאמי, כלומר $F=-kv$ כאשר k הוא קבוע ו- v זו מהירות. מצאו את מהירות כפונקציה של הזמן ושרטטו גרף של המהירות כפונקציה של הזמן.

10_Newton/e_10_2_109.html

כוח משתנה

עבור המהירות $c\tanh\omega t$ מצאו את הכוח.
$\tanh x=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$

10_Newton/e_10_2_201.html

תרגיל

חלקיק בעל מסה m נמצא במנוחה ב x=0. על החלקיק פועל כוח בכיוון ציר ה x. בזמן t=T מפסיק הכח לפעול על החלקיק. נתון $F=F_0 e^{-t/T}$ כאשר F0 ו T קבועים.
מהם המיקום והמהירות של החלקיק כתלות בזמן?

10_Newton/e_10_2_202.html

תרגיל

מעלית שמסתה 150 ק"ג מחוברת בכבל המסוגל לעמוד במתיחות של 5000N. תאוצתה המקסימלית של המעלית היא 2 מ"ש. בהנחה כי מסת אדם מבוגר היא 80 ק"ג, מה מספר האנשים המקסימלי היכולים להכנס למעלית?

10_Newton/e_10_2_203.html

תרגיל

נתונה מערכת של שני גופים. המסה הראשונה היא 15 ק"ג והשניה 30 ק"ג. מהו הכח F הדרוש על מנת ש
א. המערכת תנועה במהירות קבועה?
ב. המערכת תאיץ ימינה ב 2 מ"ש?

10_Newton/e_10_2_204.html

תרגיל

נתונה המערכת באיור. המע' מורכבת מגלגלות ומחבלים חסרי מסה. צירי הגלגלת חסרי חיכוך.
חשב את התאוצה של כל מסה.

10_Newton/e_10_2_205.html

תרגיל

ספינה נמצאת במערבולת המסתובבת בתדירות אחידה w (הכוונה היא שכל אלמנט מים מסתובב בתדירות w סביב הראשית.) מהו הכוח שעל המדחף להפעיל כך שהספינה תנוע בקו ישר בתאוצה אחידה (ביחס למים) ממרכז המערבולת? רמז: הגדר מע' צירים על המערבולת, ורשום את תנועת הספינה במע' צירים זאת.

10_Newton/e_10_2_206.html

תרגיל

תיל קשיח וחלק מונח במישור (x,y) כך שקצה אחד שלו בראשית. צורת התיל מתוארת ע"י y(x) . מסובבים את התיל סביב ציר ה y. מה צריכה להיות צורת התיל על-מנת שלחרוז בעל מסה m המושחל עליו יהיו שתי נקודות שיווי משקל?

10_Newton/e_10_2_207.html

חוקי ניוטון

במערכת המתוארת באיור אין חיכוך והגלגלות והחוטים חסרי מסה.
נתון: M1=M2=5Kg.

א. חשבו את התאוצה של כל אחת מן המסות.
ב. חשבו את המתיחות בכל אחד מן החוטים.

10_Newton/e_10_3_001.html

ניוטון

מה המתיחות בחוטים?

10_Newton/e_10_3_002.html

ניוטון

נתונות שתי מסות $m_1=1.5kg\ ,m_2=2750g$ בתצורה הבאה:
א) מהו מקדם החיכוך כך שm1 תעלה במהירות קבועה?
ב) מהו מקדם החיכוך כך שm1 תרד במהירות קבועה?

10_Newton/e_10_3_003.html

ניוטון

נתון שחיין בבריכה השוחה במהירות של 5 מטר לשנייה. במרחק מסוים מהדופן, מפסיק השחיין לדחוף את עצמו במים וגולש עד לדופן. מהירותו הסופית היא 0.4 מטר לשנייה. באיזה מרחק מהדופן התחיל השחיין בגלישה?
נתונים: $\nu=87.5\frac{Nsec}{m}\ ,v_0=5m/sec\ ,v_f=0.4m/sec\ ,m=70kg$ . כוח גרר: $\vec{F}=-\nu\dot{v}$

10_Newton/e_10_3_004.html

ניוטון

א) מהי מהירותה הסופית של טיפת גשם בהגיעה לקרקע, בהנחה שטיפת גשם נופלת נפילה חופשית מענן בגובה 600 מטר? האם ההנחה סבירה?
ב) מהי מהירותה הסופית של טיפת גשם בהגיעה לקרקע, כאשר לוקחים בחשבון את כוח הגרר שמפעיל עליה האוויר?
נתונים: כוח הגרר באוויר $\vec{F}=-6\pi\eta{r}\dot\vec{v}$ , $\eta=66.3 \frac{Nsec}{m^2}\ ,r=2mm, m=33mgram$

10_Newton/e_10_3_005.html

חוקי ניוטון - תנועה מעגלית

א) באיזו מהירות ניתן לעבור סיבוב מעגלי בעל רדיוס של 50 מטרים עם רכב, אשר בינו לבין האספלט יש מקדם חיכוך של $\mu_s=0.6$ ?
ב) באיזו מהירות ניתן יהיה לעבור את הסיבוב אם הכביש יוגבה ב-15 מעלות?

10_Newton/e_10_3_006.html

חוקי ניוטון - תנועה מעגלית

האם מאבדים משקל כאשר עוברים מישראל לקו המשווה? כמה?

10_Newton/e_10_3_007.html

חוקי ניוטון - תנועה מעגלית

גוף קטן נע בתוך צינור מעגלי בעל רדיוס R הנמצא במישור האופקי. נתון כי מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לצינור הוא $\mu_k$ . מהירותו ההתחלתית של הגוף היא $v_0$ . לאחר איזה מרחק יעצר הגוף באופן מעשי?

10_Newton/e_10_4_001.html

זבובים ומאזניים

זבוב עומד על קרקעיתה של צנצנת סגורה המוצבת על מאזניים רגישים הנמצאים במצב מאוזן. לפתע מתרומם הזבוב, מרחף במקום מספר שניות ושב ונוחת על קרקעית הצנצנת.
המשפטים הבאים מתארים את מצב כפות המאזניים לאורך התהליך שתואר לעיל. סמן/י את המשפט הנכון.
א) המאזניים יישארו מאוזנים כל הזמן.
ב) הכף השמאלית תרד כאשר הזבוב יעלה, תישאר מאוזנת כאשר הזבוב ירחף ותעלה כשהזבוב ירד.
ג) הכף השמאלית תעלה כאשר הזבוב יעלה, תישאר מאוזנת כאשר הזבוב ירחף ותרד' כשהזבוב ירד.
ד) הכף עם הזבוב תרד כל עוד הזבוב באוויר.

10_Newton/e_10_4_002.html

קונוס

נתון גוף $m$ הנמצא בתוך קונוס (המסתובב סביב צירו) בגובה $h$ . זווית הפתיחה של הקונוס היא $2\theta$ ומקדם החיכוך בין הגוף לקונוס הוא $\mu_s$ .
מצא/י את זמן המחזור המינימאלי והמקסימאלי של הקונוס כך שהגוף לא ייפול.

10_Newton/e_10_4_003.html

זריקת אבן

מבניין שגובהו $H=80 m$ נזרקת אבן בכיוון אופקי במהירות של $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ .
רוח נגדית מאיטה את האבן בתאוצה קבועה וכתוצאה מכך פוגעת האבן ברגלי הבניין כמתואר באיור.
א) חשב/י את התאוצה האופקית של האבן.
ב) מהי צורת המסלול של האבן?
(רמז: בחירה נכונה של מערכת הציריםתפשט את הפתרון!)

10_Newton/e_10_4_004.html

חיכוך

נתונים שני גופים $m_1 , m_2$ , המונחים זה על גבי זה כפי שמתואר באיור. בין שני הגופים יש מקדם חיכוך $\mu_k$ . ברגע מסוים מתחיל גוף $m_1$ לנוע על גבי $m_2$ במהירות $V_0$ . מצא/י לאיזה מרחק הגוף $m_1$ ינוע על גבי $m_2$ עד אשר המהירות היחסית בניהם תתאפס.
א) במערכת צירים אינרציאלית.
ב) במערכת צירים לא אינרציאלית.

10_Newton/e_10_4_005.html

שני גופים

נתון גוף בעל מסה $m$ המונח ע"ג טריז בעל מסה $M$ כמתואר באיור.
א) מהי מהירות הטריז כפונקציה של הזמן?
ב) מה יקרה בגבול ש- $M>>m , M<<m$ , ? הסבר/י.
ג) מהי מהירות המסה $m$ במערכת הטריז?
ד) מהו מקדם החיכוך המינימלי בין המסה לטריז כך שלא תיווצר תנועה ?

10_Newton/e_10_4_006.html

חרוז מסתחרר

נתון חרוז בעל מסה $m$ המושחל על טבעת אנכית חסרת חיכוך בעלת רדיוס $R$ , המסתובבת במהירות זוויתית $\omega$ . מצא/י את הזווית $\theta$ בה יתמקם החרוז.

10_Newton/e_10_4_007.html

שאלה 2
מסה $m_1$ מונחת על מישור משופע חסר חיכוך בעל זוית $\theta$ (ראה/י שרטוט). מסה $m_2$ מונחת על גבי מסה $m_1$ וקשורה למישור המשופע בחוט חסר מסה שכיוונו מקביל לאופק. בחר/י מערכת צירים לנוחיותך. הנח/י כי המסה $m_2$ נמצאת על גבי מסה $m_1$ לאורך כל שלבי התנועה. נתונה תאוצת הכובד $g$ .
כאשר בין שתי המסות אין חיכוך:
א. מהי תאוצת המסה $m_1$ ?
כאשר קיים בין שתי המסות חיכוך סטטי $\mu_s$ :
ב. מהו גודלה המקסימלי של $m_1$ כך שהמערכת תישאר במנוחה? בטא/י את תשובתך באמצעות $m_2$ , $\theta$ ו- $\mu_s$ .

10_Newton/e_10_4_008.html

נפילה עם חיכוך

כדור נופל ממטוס שנע במהירות $x(t)$ בגובה $x(t)$ .
נתון כי חיכוך האויר הוא $x(t)$
כאשר $x(t)$ הוא מקדם החיכוך.
ונתונה תאוצת הכובד $x(t)$ .
מצא את וקטור המיקום של הכדור?

10_Newton/e_10_4_009.html

נפילה עם חיכוך

כדור נופל ממגדל בגובה $x(t)$ .
נתון כי חיכוך האויר הוא $x(t)$
כאשר $x(t)$ הוא מקדם החיכוך.
ונתונה תאוצת הכובד $x(t)$ .
מהו הגובה של הכדור כפונקציה של הזמן

10_Newton/e_10_4_010.html

מציאת מסילת תנועתו של הגוף דרך שדה כוח נתון

גוף נע דרך שדה כוח שמשוואתו היא $\vec F = (0.5x - 2 \dot x) \hat x + 0.5 \dot y \hat y [N]$ .
הגוף נכנס לשדה במהירות של $\vec V_0 = 10 \hat x + 5 \hat y [m/s^2]$ . מצא את וקטור המקום של הגוף

10_Newton/e_10_4_011.html

תנועה יחסית

קרונית נעה בתאוצה קבועה a. מסה M הקשורה בחוט לגג הפנימי של הקרונית יוצרת זווית של $\alpha$ עם האנך. בטא את $\alpha$ באמצעות M a ו g .

10_Newton/e_10_5_041.html

חוקי ניוטון

אדם השוקל 700 ניוטון מושך את עצמו כלפי מעלה בעזרת מערכת גלגלות כמוראה באיור. מסת המשטח 200N. מסות הגלגלות והחבלים זניחות. הגלגלות חסרות חיכוך.
א.באיזה כח עליו למשוך את החבל בכדי שיעלה במהירות קבועה?
ב.באיזה כח על בן-אדם על הקרקע למשוך את החבל על מנת שיעלה במהירות קבועה?

10_Newton/e_10_5_042.html

חוקי ניוטון

דוחפים קוביה בעלת מסה m בכיוון האופקי על משטח בעל מקדם חיכוך סטטי m_sומקדם חיכוך דינמי m_k. נתון כי m_s0.5= m_k .
ב t=0 הקוביה נעה במהירות קבועה.
א.מהו ?
ב.בשלב כלשהו עוצרים את הקוביה ומפעילים עליה כוח . באיזה מהירות ותאוצה הקוביה תנוע?
ג.מהו הכוח המינימלי שיש להפעיל על הקוביה בכדי שתתחיל לנוע?

10_Newton/e_10_5_043.html

חוקי ניוטון

התמונה מראה חתך של כביש שחצוב בהר. הקו A’A מסמל מישור עליו החלקה היא אפשרית. סלע B נמצא ישירות מעל הכביש ומופרד משאר ההר ע" י סדק גדול, כך שרק כוח החיכוך מונע מהסלע להחליק. מסת הסלע היא , זווית ההטיה של השיפוע היא 24 מעלות , ומקדם החיכוך הסטטי הוא 0.63. הראה/י כי
א.הסלע לא יחליק.
ב.אם מים קופאים בסדק ומרחיבים אותו כך שהם מפעילים כוח F על הסלע (במקביל למישור A’A), מהו הערך המינימלי של F שיגרום לסלע להחליק?

10_Newton/e_10_5_044.html

חוקי ניוטון

בדיאגרמה ל- A משקל של 44N ול- B משקל של 22N. מקדם החיכוך הסטטי בין A לשולחן הוא 0.2 ומקדם החיכוך הדינמי בין A לשולחן הוא 0.15.
א. מהו המשקל המינימלי של C על-מנת ש A לא יחליק?
ב.נניח כי בבת אחת מרימים את C. מה תהיה תאוצת A ?

10_Newton/e_10_5_071.html

חוקי ניוטון

גוף שמסתו m מתחיל להחליק ממנוחה בשיא הגובה של מסילה חצי מעגלית חלקה שרדיוסה R=1 מטר.

10_Newton/e_10_5_078.html

חוקי ניוטון

שני בולים מחוברים בחוט שמסתו זניחה.
בול א מונח על שולחן עם מקדם חיכוך 0.4 כשכוח חיצוני פועל על המערכת היא נמצאת בש.מ.
1) מה גודלו וכיוונו של כוח החיכוך הפועל על הבול כאשר גודלו של הכוח החיצוני הוא 250 ניטון
2) מהו גודלו המקסימלי של הכוח החיצוני כך שהמערכת תשאר עדיין במנוחה
3) הכוח חדל לפעול, באיזו תאוצה ינוע הבול

10_Newton/e_10_5_079.html

חוקי ניוטון

גוף שמסתו M מונח על מישור משופע חלק הנטוי בזווית $\the$ .
גוף שמסתו m מונח עליו כשהוא קשור אליו ע"י חוט העובר סביב גלגלת בעלת מסה זניחה
מקדם החיכוך הקינטי בין הגופים הוא $\mu$
משחררים את המערכת ממנוחה והיא מתחילה להחליק
בטא את תשובותיך בעזרת $\mu$ , $\the$ , m ,M, g
1) שרטט את תרשימי הכוחות עבור כל אחד מהגופים
2)חשב את תאוצת הגוף
3)כמה זמן יחליק הגוף mעל M עד שקצותיהם הימניים יתלכדו,
בהנחה שברגע שחרור המערכת הגופים נמצאים במרחק Lזה מזה.

10_Newton/e_10_5_080.html

תנועה מעגלית

כדור קטן שמסתו m קשור לקצהו של חוט שאורכו l.
קצהו השני של החוט מחובר אל ציר סיבוב אוקפי חלק העובר בגובה 3l
מעל הרצפה. אוחזים בכדור כאשר החוט מתוח באורך l והכדור נמצא אנכית מעל ציר הסיבוב.
במצב זה מעניקים לכדור מהירות אופקית V0 על מנת שהכדור יבצע תנועה במעגל זקוף.
נתונים m,l,g

א)מה המהירות המינימלית V0שהכדור אכן יבצע תנועה מעגלית זקופה
ב)מענקים לכדור מהירות התחלתית $V_0=2\sqrt{gl}$ .
בהנחה שהחוט נקרע ברגע שמתיחותו עולה על $T_{max}=3.6mg$ מצא את $\theta$ בה נמצא הכדור ברגע שהחוט נקרע.
ג) מה מהירות הכדור ברגע שהחוט נקרע?
ד) תוך כמה זמן מרגע קריעת החוט יפגע הכדור ברצפה. בחלק זה הנח $g = 10 \frac{m}{sec^2}$ ו- $l=1m$ .

10_Newton/e_10_5_081.html

תנועה מעגלית

מסה נקודתית מתחילה את תנועתה ממצב מנוחה מפסגת משטח כדורי בעל רדיוס R
המשטח חלק וקבוע

א)חשבו את האנרגיה הקינטית של המסה כפונקציה של הזווית
ב)חשבו את התאוצה הרדיאלית והמשיקית כפונקציה של הזווית

ג) באיזה זווית תשתחרר המסה מהמשטח הכדורי

10_Newton/e_10_5_082.html

תקליט מסתובב בקצב של 33 סיבובים בדקה

א)מהי תדירות הסיבוב של התקליט?
ב)מהו זמן המחזור של הסיבוב?

ג) תוך כמה זמן מתקדמת נקודה על התקליט לזווית של 90 מעלות?

10_Newton/e_10_5_083.html

תנועה מעגלית חוקי ניוטון

בול קטן שמסתו m מחליק על מסילה המסתיימת במסילה מעגלית אנכית, כמתואר בציור. המסילה כולה נטולת חיכוך.

א) מהי המהירות של הבול (גודל וכיוון) בהגיעו לנקודה T?
ב)מהי התאוצה הרדיאלית והתאוצה המשיקית בנקודה T?
ג) מהו גודל הכוח השקול הפועל על הבול בנקודה T?
ד) באיזה גובה מעל תחתית המסילה המעגלית יש לשחרר את הבול כדי שבהגיעו אל הנקודה Q תפעיל עליו המסילה כוח נורמלי השווה למשקלו?

10_Newton/e_10_8_010.html

Friction

Block m₁ in the figure below has a mass of 4.20 kg and block m₂ has a mass of 2.30 kg. The coefficient of kinetic friction between m₂ and the horizontal plane is 0.47. The inclined plane is frictionless. Find (a) the acceleration of the blocks and (b) the tension in the string.

10_Newton/e_10_8_026.html

Circular motion

A car moves at a constant speed on a straight but hilly road. One section has a crest (peak) and dip of the same 250-m radius, as shown in the figure below. (a) As the car passes over the crest, the normal force on the car is one-half the 16-kN weight of the car. What will be the normal force on the car as it passes through the bottom of the dip? (b) What is the greatest speed at which the car can move without leaving the road at the top of the hill? (c) Moving at the speed found in (b), what will be the normal force on the car as it moves through the bottom of the dip?

10_Newton/e_10_8_040.html

חיכוך (בעיה בתלת מימד)

ארגז בצורת קוביה מחליק בתוך תעלה משופעת המוצגת בציור השמאלי וחתכה מוצג בציור הימני. הארגז מתחכך עם שתי הצלעות. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף והצלעות הוא $\mu_k$ . חשבו את תאוצת הארגז באמצעות $\mu_k,g,\theta$ .

10_Newton/e_10_8_041.html

חוקי ניוטון

נתונה המערכת הבאה:
מצא/י את המתיחויות T₁, T₂, T₃

10_Newton/e_10_8_042.html

חוקי ניוטון

קופסא מונחת ע" ג רצפת קרון הנע במהירות 40 [m/sec]. מקדם החיכוך הסטטי בין הקופסא לרצפת הקרון הוא m_s = 0.3. אם הקרון מתחיל לבלום בתאוצה קבועה עד לעצירה מוחלטת, מהו המרחק המינימלי שעליו לעבור עד שייעצר ע" מ שהקופסא לא תחליק ?

10_Newton/e_10_8_043.html

חוקי ניוטון

מעלית שמסתה 150 [kg] מחוברת בכבל המסוגל לעמוד במתיחות של עד 5000 [N]. תאוצתה המקסימלית של המעלית היא 2 [m/sec]. בהנחה כי מסתו של אדם בוגר היא 80 [kg] מה מספר האנשים המקסימלי שיכולים לעלות במעלית בבטחה ? מה היה מספר האנשים אילו היתה המעלית יורדת ?

10_Newton/e_10_8_044.html

חוקי ניוטון

גוף שמסתו 5 [kg] תלוי על מוט הנטוי בזווית של 60^o מהקיר. המוט מוחזק על ידי חבל היוצר עם הקיר זווית של 45^o(ראה/י ציור). מהי המתיחות בחוט ?

10_Newton/e_10_8_045.html

חוקי ניוטון

נתונה מערכת של שני גופים ( ראה/י ציור). הגלגלת והמשטחים חסרי חיכוך. נתון כי [ m₁ = 15 [kg ו- [ m_{2 =}30 [kg. מה צריך להיות הכוח f כדי ש- :
א. המערכת תנוע במהירות קבועה.
ב. המערכת תאיץ בתאוצה קבועה של 2 [m/sec²] שמאלה.

10_Newton/e_10_8_046.html

חוקי ניוטון

מכונית משולשת מאיצה שמאלה בתאוצה של 10 [m/sec²]. מזוודה שמסתה 20 [kg] נשכחה על " גג" המכונית (הצד המשופע).
א. האם תיפול המזוודה מהמכונית במהלך הנסיעה, כלומר תנוע כלפי מטה ביחס לגג ?
רמז: יש לחשב מהו הכוח הנורמלי
ב.יש לחשב את התאוצה של המזוודה
ג.יש לשאול מה כיוון תאוצת המזוודה ביחס למכונית

10_Newton/e_10_8_051.html

חוקי ניוטון

ר', סטודנט שמסתו 70 [kg] נסע בחופשת הפסח לעשות סקי מים. לאחר שלבש את המגלשיים ותפס את החבל בחוזקה סירת המרוץ האיצה בתאוצה קבועה של a = 5 [m/sec²]. ידוע כי מקדם החיכוך הקינטי בין המגלשיים למים הוא0.2 ומקדם החיכוך הקינטי בין הסירה, שמסתה 800 [kg], למים הוא 0.35.
א.מהי המתיחות בחבל ?
ב. מהו הכוח הכולל שמפעיל המנוע על הסירה על מנת שתאיץ בתאוצה זו ?
ג. לאחר זמן מה התחיל זרם חזק במהירות של 3 [m/sec] בכיוון הפוך לכיוון תנועת הסירה והגולש, מהו הכוח שצריך להפעיל המנוע ע" מ לאפשר את התנועה המואצת בתנאים אלה ?
ד. לאחר הפלגה קצרה התעייף הקייטן ועלה לסירה, אך אויה, מנוע הסירה אינו פועל והסירה החלה להיסחף עם הזרם (כלומר, מהירות הסירה ביחס למים היא 0). ר' מיד התנדב לפתור את הבעיה ואחז במשוטים. אם ידוע כי מקדם החיכוך הסטטי בין הסירה למים הוא 0.5 מהו הכוח המינימלי שעליו להפעיל ע" מ להאיץ את הסירה.

10_Newton/e_10_8_052.html

חוקי ניוטון

כדי לממן את חופשת הסקי נאלץ ר' (שמסתו עלתה ל- 72 [kg]) לעבוד בניקוי חלונות בבניינים גבוהים. במהלך עבודתו עמד על לוח שמסתו 40 [kg] המחובר לגלגלת חסרת חיכוך ומסה באופן הבא:

כדי לעלות ולרדת צריך ר' למשוך בחבל.
א.איזה כוח צריך ר' להפעיל על החבל כדי לעלות במהירות קבועה ?
ב.מהו הכוח אותו הוא מפעיל על הלוח במקרה זה ?
ג.מהו הכוח אותו הוא מפעיל על מנת לרדת בתאצה קבועה של 1 [m/sec] ?
ד.לאחר שהתעייף החליט ר' לייעל את המערכת והוסיף גלגלת נוספת

פתור/י את שלושת הסעיפים א,ב,ג עבור המערכת החדשה.

10_Newton/e_10_8_053.html

חוקי ניוטון

כושר ההפרדה של מכשיר הצנטריפוגה (מכשיר להפרדת מסות) מוגדר כתאוצה הרדיאלית (צנטריפטלית) בסיבוב, ביחידות של g.
נתון מכשיר צנטריפוגה המסתובב בתדירות של [f = 50 [Hz ורדיוסו [ R = 15 [cm. מהו כושר ההפרדה של המכשיר ?

10_Newton/e_10_8_054.html

חוקי ניוטון

מכונית נוסעת בכביש מעגלי שרדיוסו 100 [m], המוגבה בזווית של 10°.מקדם החיכוך הסטטי בין המכונית לכביש הוא 0.3.
מהי המהירות המשיקית המקסימלית האפשרית כך שהמכונית תמשיך במסלול המעגלי ? מה יקרה אם תעבור המכונית מהירות זו ?

10_Newton/e_10_8_055.html

חוקי ניוטון

מסובבים דלי מים קשור בחבל שאורכו [ R = 1.2 [m בצורה אנכית. מהי המהירות המינימלית של הדלי בנקודת הפסגה ע" מ שהמים לא יישפכו ?

10_Newton/e_10_8_061.html

חוקי ניוטון

נתונות שתי מסות הקשורות בחבלים על פי הציור. מסה B משקלה 711 [N] ומקדם החיכוך הסטטי בינה ובין השולחן הוא µ_s = 0.25. הנח/י כי החבל בין מסה B והקשר מתוח אופקית. מצא את המסה המקסימלית של A כך שהמערכת תישאר במנוחה. מה יקרה אם מסה A תהיה כבידה יותר ?

10_Newton/e_10_8_062.html

חוקי ניוטון

בציור ישנן שלוש משקולות, A, B, C.
נתון כי מסתן של המשקולות A ו- B הן [ M_A= 4 [kg ו- [M_b = 2 [kg וכי מקדמי החיכוך הסטטי והקינטי בין משקולת A לשולחן הם µ_s = 0.2 ו- µ_k = 0.15.
א.מה המסה המינימלית של משקולת C על מנת שהמערכת תישאר במנוחה ?
ב. מרימים בפתאומיות את משקולת C, מה תהיה תאוצתה של משקולת A ?

10_Newton/e_10_8_063.html

חוקי ניוטון

לכבוד האביב המלבב קנה ר' לאימו שעון קיר עם שני מחוגים, שעות ודקות, שרדיוסם [ R_h = 15 [cm], R_m = 30 [cm .
א. מהי המהירות הזוויתית של המחוגים ? מהי המהירות המשיקית של קצות המחוגים ?
ב.ר' סיים לכוון את השעון בשעה 14:50 , מה הזווית שיעבור מחוג הדקות עד שישיג את מחוג השעות ?
ג.מה המרחק שיעבור קצה מחוג הדקות מנקודת המפגש עד השעה 15:45 ?

10_Newton/e_10_8_064.html

חוקי ניוטון

דיסקה מחליקה ע" ג שולחן ללא חיכוך. הדיסקה מחוברת למסה התלויה מתחת למרכז דרך חור בשולחן. מה צריכה להיות המהירות (זוויתית ומשיקית) של הדיסקה על מנת שהמסה תישאר במנוחה אם אורך החבל מהחור לדיסקה הוא 25 [cm] ? בכמה תשתנה המהירות אם מרחק זה יתקצר ל- 15 [cm] ?

10_Newton/e_10_8_065.html

חוקי ניוטון

כדור שמסתו [m = 1.4 [kg מחובר בעזרת שני מיתרים למוט המסתובב סביב צירו . ידוע כי המתיחות במיתר העליון היא [ T_u = 35 [N וכי שני המיתרים שאורכם 1.7 [m] מתוחים, וכי המרחק בין נקודת הקשירה של המיתרים על המוט היא 1.7 [m] גם כן. חשב/י את:
א. המתיחות במיתר התחתון.
ב.הכוח הפועל על הכדור.
ג.מהירות הכדור (משיקית וזוויתית).

10_Newton/e_10_8_066.html

Newton Laws
A 5.5-kg block is initially at rest on a frictionless horizontal surface.
It is pulled with a constant horizontal force of 3.8 N.
(a) What is its acceleration?
(b) How long must it be pulled before its speed is 5.2 m/s?
(c) How far does it move in this time?

10_Newton/e_10_8_067.html

Newton Laws
An electron travels in a straight line from the cathode of a vacuum tube to its anode, which is 1.5 cm away.
It starts with zero speed and reaches the anode with a speed of 5.8 X 106 m/s. Assume constant acceleration and compute the force on the electron.
This force is electrical in origin. The electron's mass is 9.11 X 10-31 kg.

10_Newton/e_10_8_068.html

Newton Laws

A car traveling at 53 km/h hits a bridge support. A passenger in the car moves forward a distance of 65 cm (with respect to the road) while being brought to rest by an inflated air bag.
What force (assumed constant) acts on the passen¬ger's upper torso, which has a mass of 39 kg?

10_Newton/e_10_8_069.html

Newton Laws
A certain force gives object m1 an acceleration of 12.0 m/s2. The same force gives object m2 an acceleration of 3.30 m/s2.
What acceleration would the force give to an object whose mass is
(a) the difference between m1 and m2 and
(b) the sum of m1 and m2 ?

10_Newton/e_10_8_070.html

Newton Laws
Two blocks, with masses m1 = 4.6 kg and m2 = 3.8 kg, are connected by a light spring on a horizontal frictionless table. At a certain instant, when m2 has an acceleration a2 = 2.6 m/s2,
(a) what is the force on m2 and
(b) what is the acceleration of m1 ?

10_Newton/e_10_8_071.html

Newton Laws
A space trave1er whose mass is 75.0 kg leaves Earth. Compute his weight
(a) on Earth,
(b) on Mars, where g = 3.72 m/s2, and
(c) in interplanetary space.
(d) What is his mass at each of these locations?

10_Newton/e_10_8_072.html

Newton Laws

A 12,000-kg airplane is in level flight at a speed of 870 km/h.
What is the upward-directed lift force exerted by the air on the airplane?

10_Newton/e_10_8_073.html

Newton Laws
A jet plane starts from rest on the runway and accelerates for takeoff at 2.30 m/s2 (= 7.55 ft/s2).
It has two jet engines, each of which exerts a thrust of 1.40 X 105 N (= 15.7 tons). What is the weight of the plane?

10_Newton/e_10_8_074.html

Newton Laws
(a) Two l0-lb weights are attached to a spring scale as shown in the figure below. What is the reading of the scale?
(b) A single l0-lb weight is attached to a spring scale which itself is at¬tached to a wall, as shown below.
What is the reading of the scale? (Ignore the weight of the scale.)

10_Newton/e_10_8_075.html

Newton Laws
A car moving initially at a speed of 50 mi/h (~80 km/h) and weighing 3000 Ib (~13,000 N) is brought to a stop in a distance of 200 ft (~61 m). Find
(a) the braking force and
(b) the time required to stop.
Assuming the same braking force, find
(c) the distance and
(d) the time required to stop if the car were going 25 mi/h (~40 km/h) initially.

10_Newton/e_10_8_076.html

Newton Laws
An object is hung from a spring scale attached to the ceiling of an elevator.
The scale reads 65 N when the elevator is standing still.
(a) What is the reading when the elevator is moving upward with a constant speed of 7.6 m/s?
(b) What is the reading of the scale when the elevator is moving upward with a speed of 7.6 m/s and decelerating at 2.4 m/s2 ?

10_Newton/e_10_8_077.html

Newton Laws
A 77-kg person is parachuting and experiencing a downward acceleration of 2.5 m/s2 shortly after opening the parachute.
The mass of the parachute is 5.2 kg.
(a) Find the upward force exerted on the parachute by the air.
(b) Calculate the downward force exerted by the person on the parachute.

10_Newton/e_10_8_078.html

Newton Laws
A l5,000-kg helicopter is lifting a 4500-kg car with an up¬ward acceleration of 1.4 m/s2. Calculate
(a) the vertical force the air exerts on the helicopter blades and
(b) the tension in the upper supporting cable. See the picture below.

10_Newton/e_10_8_079.html

Newton Laws
A l400-kg jet engine (below) is fastened to the fuselage of a passenger jet by just three bolts (this is the usual practice). Assume that each bolt supports one-third of the load.
(a) Calculate the force on each bolt as the plane waits in line for clearance to take off.
(b) During flight, the plane encounters turbulence, which suddenly imparts an upward vertical acceleration of 2.60 m/s2 to the plane.
Calculate the force on each bolt now. Why are only three bolts used?

10_Newton/e_10_8_080.html

Newton Laws
A child's toy consists of three cars that are pulled in tandem on small frictionless rollers as shown in the figure below.
The cars have masses m1 = 3.1 kg, m2= 2.4 kg, and m3 = 1.2 kg. If they are pulled to the right with a horizontal force P = 6.5 N, find
(a) the acceleration of the system,
(b) the force exerted by the second car on the third car, and
(c) the force exerted by the first car on the second car.

10_Newton/e_10_8_081.html

Newton Laws
Two blocks are in contact on a frictionless table, as shown below. A horizontal force is applied to one block, as shown below.
(a) If m1 = 2.3 kg, m2 = 1.2 kg, and F = 3.2 N, find the force of contact between the two blocks.
(b) Show that if the same force F is applied to m2 rather than to m1, the force of contact between the blocks is 2.1 N, which is not the same value de¬rived in (a). Explain.

10_Newton/e_10_8_082.html

A body with mass m is acted on by two forces F1 and F2, as shown in the figure below.
If m = 5.2 kg, F1 = 3.7 N, and F2 = 4.3 N, find the vector acceleration of the body.

10_Newton/e_10_8_083.html

A 5.1-kg block is pulled along a frictionless floor by a cord that exerts a force P = 12 N at an angle  = 25° above the horizontal, as shown in the figure below.
(a) What is the acceleration of the block?
(b) The force P is slowly increased. What is the value of P just before the block is lifted off the floor?
(c) What is the acceleration of the block just before it is lifted off the floor?

10_Newton/e_10_8_084.html

A worker drags a crate across a factory floor by pulling on a rope tied to the crate.
The rope, which is inclined at 38.0° above the horizontal, exerts a force of 450 N on the crate.
The floor exerts a horizontal resistive force of 125 N, as shown in the figure below.
Calculate the acceleration of the crate
(a) if its mass is 96.0 kg, and
(b) if its weight is 96.0 N.

10_Newton/e_10_8_085.html

A 1200-kg car is being towed up an 18° incline by means of a rope attached to the rear of a truck. The rope makes an angle of 27° with the incline.
What is the greatest distance that the car can be towed in the first 7.5 s starting from rest if the rope has a breaking strength of 4.6 kN?
Ignore all resistive forces on the car. See the figure below:

10_Newton/e_10_8_086.html

A 110-kg crate is pushed at constant speed up a frictionless 34° ramp, as shown in the figure below.
What horizontal force F is required? (Hint: Resolve forces into components parallel to the ramp.)

10_Newton/e_10_8_087.html

An elevator weighing 6200 lb is pulled upward by a cable with an acceleration of 3.8 ft/s2.
(a) What is the tension in the cable?
(b) What is the tension when the elevator is accelerating downward at 3.8 ft/s2 but is still moving upward?

10_Newton/e_10_8_088.html

A lamp hangs vertically from a cord in a descending elevator.
The elevator has a deceleration of 2.4 m/s2 before coming to a stop.
(a) If the tension in the cord is 89 N, what is the mass of the lamp?
(b) What is tension in the cord when the elevator ascends (goes up) with an upward acceleration of 2.4 m/s2?

10_Newton/e_10_8_089.html

An 11-kg monkey is climbing a massless rope attached to a 15-kg log (piece of wood) over a frictionless tree limb.
(a) With what mini¬mum acceleration must the monkey climb up the rope so that it can raise the 15-kg log off the ground?
If, after the log has been raised off the ground, the monkey stops climbing and hangs on to the rope, what will now be
(b) the monkey's acceleration and
(c) the tension in the rope?

10_Newton/e_10_8_090.html

The figure below shows a section of an alpine cable-car system. The maximum permitted mass of each car with occupants is 2800 kg.
The cars, riding on a support cable, are pulled by a second cable attached to each pylon (support column).
What is the difference in tension between adjacent sections of pull cable if the cars are accelerated up at a 35° incline at 0.81 m/s2, as shown below?

10_Newton/e_10_8_091.html

The man in the figure below weighs 180 lb; the platform and at¬tached frictionless pulley weigh a total of 43 lb. Ignore the weight of the rope.
With what force must the man pull up on the rope in order to lift himself and the platform upward at 1.2 ft/s2?

10_Newton/e_10_8_092.html

Block B in the figure below weighs 712 N. The coefficient of static friction between block B and the table is 0.25.
Find the maximum weight of block A for which block B will remain at rest.

10_Newton/e_10_8_093.html

Block m1 in the figure below has a mass of 4.20 kg and block m2 has a mass of 2.30 kg.
The coefficient of kinetic friction between m2 and the horizontal plane is 0.47.
The inclined plane is frictionless. Find
(a) the acceleration of the blocks and
(b) the tension in the string.

10_Newton/e_10_8_094.html

In the figure below, object B weighs 94.0 lb and object A weighs 29.0 lb.
Between object B and the plane the coefficient of sta¬tic friction is 0.56 and the coefficient of kinetic friction is 0.25.
(a) Find the acceleration of the system if B is initially at rest.
(b) Find the acceleration if B is moving up the plane.
(c) What is the acceleration if B is moving down the plane? The plane is inclined by 42.0°.

10_Newton/e_10_8_095.html

During an Olympic bobsled run, a European team takes a turn of radius 25 ft at a speed of 60 mi/h.
What acceleration do the riders experience
(a) in ft/s2 and
(b) in units of g?

10_Newton/e_10_8_096.html

A 2400-lb (= 10.7-kN) car traveling at 30 mi/h (= 13.4 m/s) attempts to round an unbanked curve with a radius of 200 ft (= 61.0 m).
(a) What force of friction is required to keep the car on its circular path?
(b) What minimum coefficient of static friction between the tires and road is required?

10_Newton/e_10_8_097.html

A circular curve of highway is designed for traffic moving at 60 km/h (= 37 mi/h).
(a) If the radius of .the curve is 150 m (= 490 ft), what is the correct angle of banking of the road?
(b) If the curve were not banked, what would be the minimum coefficient of friction between tires and road that would keep traffic from skidding (slipping) at this speed?

10_Newton/e_10_8_098.html

A conical pendulum is formed by attaching a 53-g pebble to a l.4-m string.
The pebble swings around in a circle of radius 25 cm.
(a) What is the speed of the pebble?
(b) What is its acceleration?
(c) What is the tension in the string?

10_Newton/e_10_8_099.html

A banked circular highway curve is designed for traffic moving at 95 km/h. The radius of the curve is 210 m.
Traffic is moving along the highway at 52 km/h on a stormy day.
(a) What is the minimum coefficient of friction between tires and road that will allow cars to turn without sliding?
(b) With this value of the coefficient of friction, what is the greatest speed at which the cars can turn without sliding?

10_Newton/e_10_8_100.html

A particle of mass m is subjected to a net force F(t) given by F(t)=Fo(1-t/T)i; that is, F(t) equals Fo at t = 0 and decreases linearly to zero in time T. The particle passes the origin x = 0 with velocity voi. Show that at the instant t = T that F(t) vanishes, the speed v and distance x traveled are given by v(T) = vo + aoT/2, and x(T) = voT + aoT^2/3, where ao = Fo/m is the initial acceleration.

10_Newton/e_10_8_101.html

A horizontal force F of 12 lb pushes a block weighing 5.0 lb against a vertical wall as shown in the figure below.
The coefficient of static friction between the wall and the block is 0.60 and the coeffi¬cient of kinetic friction is 0.40. Assume the block is not mov¬ing initially.
(a) Will the block start moving?
(b) What is the force exerted on the block by the wall?

10_Newton/e_10_8_102.html

7.96-kg block rests on a plane inclined at 22.0° to the horizontal, as shown in the figure below.
The coefficient of static friction is 0.25, while the coefficient of kinetic friction is 0.15.
(a) What is the minimum force F, parallel to the plane, that will prevent the block from slipping down the plane?
(b) What is the minimum force F that will start the block moving up the plane?
(c) What force F is required to move the block up the plane at constant velocity?

10_Newton/e_10_8_103.html

The two blocks, m = 16 kg and M = 88 kg, shown in the figure below are free to move.
The coefficient of static friction between the blocks is 0.38, but the surface beneath M is frictionless.
What is the minimum horizontal force F required to hold m against M?

10_Newton/e_10_8_104.html

A massless rope is tossed over a wooden dowel (cylinder) of radius r in order to lift a heavy object of weight W off of the floor, as shown in the figure below.
The coefficient of sliding friction between the rope and the dowel is mu. Show that the minimum downward pull on the rope necessary to lift the object is Fdown=Wexp(pi mu).
(Hint: This problem requires techniques from integral calculus.)

10_Newton/e_10_8_105.html

A 4.40-kg block is put on top of a 5.50-kg block. In order to cause the top block to slip on the bottom one, held fixed, a horizontal force of 12.0 N must be applied to the top block.
The assembly of blocks is now placed on a horizontal, frictionless table, as shown below Find
(a) the maximum horizon¬tal force F that can be applied to the lower block so that the blocks will move together,
(b) the resulting acceleration of the blocks, and
(c) the coefficient of static friction between the blocks.

10_Newton/e_10_8_106.html

You are driving a car at a speed of 85 km/h when you notice a barrier across the road 62 m ahead.
(a) What is the minimum coefficient of static friction between tires and road that will allow you to stop without striking the barrier?
(b) Suppose that you are driving at 85 km/h on a large empty parking lot. What is the minimum coefficient of static friction that would allow you to turn the car in a
62-m radius circle and, in this way, avoid collision with a wall 62 m ahead?

10_Newton/e_10_8_107.html

A car moves at a constant speed on a straight but hilly road. One section has a crest (peak) and dip of the same 250-m radius, as shown in the figure below.
(a) As the car passes over the crest, the normal force on the car is one-half the 16-kN weight of the car. What will be the normal force on the car as it passes through the bottom of the dip?
(b) What is the greatest speed at which the car can move without leaving the road at the top of the hill?
(c) Moving at the speed found in (b), what will be the normal force on the car as it moves through the bottom of the dip?

10_Newton/e_10_8_108.html

A 1.34-kg ball is attached to a rigid vertical rod by means of two massless strings each 1.70 m long. The strings are attached to the rod at points 1.70 m apart.
The system is rotating about the axis of the rod, both strings being taut and forming an equilateral triangle with the rod, as shown below.
The tension in the upper string is 35.0 N.
(a) Find the tension in the lower string.
(b) Calculate the net force on the ball at the instant shown in the figure.
(c) What is the speed of the ball?

10_Newton/e_10_8_109.html

A very small cube of mass m is placed on the inside of a funnel (see figure below) rotating about a vertical axis at a constant rate of w revolutions per second.
The wall of the funnel makes an angle theta with the horizontal. The coefficient of static friction between cube and funnel is mu and the center of the cube is at a distance r from the axis of rotation.
Find the
(a) largest and
(b) smallest values of w for which the cube will not move with respect to the funnel.

13_Energy_momentum/e_13_1_011.html

conservative forces

For each of the forces given below check whether it is conservative and find the potential energy, if possible:
a) $F_x=2yz(1-6xyz)$ , $F_y=2xz(1-6xyz)$ , $F_z=2xy(1-6xyz)$
b) $F_x=y^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ , $F_y=x^2+z^2+2(xy+yz+zx)$ , $F_z=y^2+x^2+2(xy+yz+zx)$

13_Energy_momentum/e_13_1_012.html

Potential energy, conservation laws

Potential energy is given by $U=a/r^2-b/r$ . At what $r$ aparticle is in equilibrium ?

13_Energy_momentum/e_13_1_013.html

period of the bound motion

Potential energy is given by $U(x)=k|x|$ (one-dimensional motion). Find the period of the bound motion of the particle with the energy $E>0$ .

13_Energy_momentum/e_13_1_014.html

Potential energy, conservation laws

Force is given by $F_\rho=a/\rho^2$ , $F_\varphi=b\sin\varphi/\rho^2$ (cylindrical coordinates). Is the force conservative ? If yes, find the potential. What is conserved in this force ?

13_Energy_momentum/e_13_1_015.html

Potential energy, conservation laws

Potential energy is given in polar coordinates by $U=a\cos\varphi/\rho$ . Find the force. Is angular momentum conserved ? Find the torque at $(\rho,\varphi)$ .

13_Energy_momentum/e_13_1_016.html

Potential energy, conservation laws

A particle orbit is $r=a(1-\cos\varphi)$ . Find the central force.

13_Energy_momentum/e_13_1_017.html

Potential energy, conservation laws

A bead (mass $m$ ) is moving on a circularly shaped wire( $r=\text{const}$ ) without friction and is connected to the two points, $P_1=(0, -r/2)$ and $P_2=(0,r/2)$ , with identical springs (spring constant $k$ ) of initially zero length (so that $|\vec {F}|=kl$ where $l$ is the length of the spring). a) Write down the force vectors. b) Derive the potential energy (if the forces are conservative). c) Find the velocity as a function of angle $\varphi$ (for a given energy). c) Find the angular momentum relative to the coordinate origin as a function of $\varphi$ .

13_Energy_momentum/e_13_1_018.html

Potential energy, conservation laws

A bead (mass $m$ ) is moving on an elliptically shaped ( $r=p/(1-\epsilon \cos\varphi$ ) wire without friction. The bead is attracted to the focus $(0,0)$ by the force inversely proportional to the distance $r_1$ squared between the bead and the focus, $|\vec {F}|_1=k_1/r_1^2$ . The bead is attracted to the center of the ellipse by the force proportional to the distance $r_2$ between the bead and the center, $|\vec {F}|_2=k_2r_2$ . a) Write down the force vectors. b) Derive the potential energy (if the forces are conservative). c) Find the velocity as a function of angle $\varphi$ (for a given energy). c) Find the angular momentum relative to the coordinate origin as a function of $\varphi$ .

13_Energy_momentum/e_13_1_019.html

Potential energy, conservation laws

In a galaxy the gravitational potential (potential energy) is $U=-k/r^\alpha$ , $0<\alpha<1$ . Find the relation between the total energy and angular momentum for circular orbits. Find the dependence of the orbit period on the radius.

13_Energy_momentum/e_13_1_020.html

Potential energy, conservation laws

A particle moves under the influence of the body $O$ which is in the coordinate origin. In the beginning the particle is at a very large distance from $O$ , moves with the velocity $v$ and would pass at the distance $l$ from $O$ if there were no interaction (this is called \textit{impact parameter}). What is the minimal distance between the particle and $O$ for the potential energy is $U=k/r^\alpha$ (analyze $k>0$ and $k<0$ ).

13_Energy_momentum/e_13_1_021.html

Potential energy, conservation laws

Find $x(t)$ for a particle with $E=0$ in the potential energy $U(x)=-ax^2/2+bx^4/4$ . (Hint: $x\rightarrow 0$ for $t\rightarrow -\infty$ .)

13_Energy_momentum/e_13_1_022.html

apogee and perigee

A satellite of the mass $m$ , moving in the Earth potential $U(r)=-k/r$ , has the total energy $E$ and angular momentum $J$ . Find the maximum (apogee) and minimum (perigee) distance from the Earth.

13_Energy_momentum/e_13_1_023.html

Potential energy, conservation laws

A particle (mass $m$ ) is moving in the central field $U=-k/r$ on a circular orbit $r=r_0$ . The energy and angular momentum suddenly are changed by $\Delta E$ and $\Delta J$ . What are the maximal and minimal distances from the attracting body on the new orbit ?

13_Energy_momentum/e_13_1_024.html

Energy Conservation and Work

A necklace is laying on a table without friction when a quarter of it is hunging from the edge.
The necklace's length is $L$ and its mass is $m$ .
What is work needed in order to pull the necklace to the table?
Do it in two ways:
(a) Using the definition of work.
(b) Using energy conservation.

13_Energy_momentum/e_13_1_025.html

Momentum Conservation

The mass of a rocket at time $t$ is given by
$m(t)=m_0e^{-\alpha t}$ ( $\alpha$ is constatnt)
due to gases that exhausting from it (in the opposite direction).
The gases velocity is $u$ with respect to the rocket.
If the rocket take off from earth
1. What is the condition for the rocket to take off despite the gravity force?
2. Find the rocket velocity as a function of time.
3. A friction force of the form $\vec{F}=-\beta m\vec{v}$ ( $\beta$ is constant) is also acting on the rocket, find $v(t)$ .
4. What is the rocket velocity after a long time ( $t \rightarrow \infty$ )?

13_Energy_momentum/e_13_1_026.html

Potential Energy, Coservation Laws

A particle move in a potential energy
$U(x)=3x^2-x^3$ .
1. What is the force? draw the graph of U(x).
2. What is the direction of the force at every point?
3. What are the equilibrium points? are they stable?
4. For given energies, what are the possible trajectories?

13_Energy_momentum/e_13_1_027.html

Work

Two forces acting on a particle
$\vec{F}_1=\hat{x}+2\hat{y}+3\hat{z}$ N
$\vec{F}_2=4\hat{x}-5\hat{y}-2\hat{z}$ N
The particle moves from the point $A=(20,15,0)$ to the point $B=(0,0,7)$ .
1. What is the work done on the particle?
2. What would be the work if the particle move from $B$ to $A$ ?

13_Energy_momentum/e_13_1_028.html

Work

A particle move according to
$\vec{r}(t)=a cos \omega t\hat{x}+bsin\omega t\hat{y}$
1. Find the kinetic energy of the particle in the points $A=(a,0)$ and $B=(0,b)$ .

2. What is the work done on the particle by the centripetal force between the points $A$ and $B$ ?

3. Show that in order to bring back the particle to point $A$ the work needed is 0.

13_Energy_momentum/e_13_1_029.html

Momentum Conservation

A rocket is moving due to exhausting gases at high velocity in the opposite direction. The gases are products of fuel burning so the mass of the rocket is reduced all the time. The rate of exhausting is constant and the gases velocity is $u$ with respect to the rocket.

1. Derive the equations of motion for a rocket moving in space (far from earth). Find the volcity as a function of time where you can assume that $v(0)=0$ and $m(0)=m_0$ .

2. If the rocket takes off from earth what is its velocity as a function of time?

13_Energy_momentum/e_13_1_030.html

Potential energy, conservation laws

A particle's trajectory is
$r=r_0e^\varphi$
and it moves in a central force. Find $U(r)$ .

13_Energy_momentum/e_13_1_031.html

Potential energy, conservation laws

A particle (mass $m$ , energy $E<0$ ) move in a potential $U(r)=-\frac{k}{r}$ , $k>0$
such that $U(r)=-\frac{k}{r}$ .
Find the angular momentum.

13_Energy_momentum/e_13_1_032.html

Potential energy, conservation laws

A particle (mass $m$ ) move in central field
$U(r)=-\frac{k}{\sqrt{r}}~,~k>0$
in a circular orbit. Its angular momentum is $J$ .
Find its energy and the time that is needed to complete a cycle.

13_Energy_momentum/e_13_1_033.html

Collisions

A mass $M$ is attached to a loose spring (spring constant $k$ ) and lies on a plane with kinetic friction coefficient $\mu$ .
A bullet (mass $m$ ) is fired toward the mass in a velocity $v$ .
How much will the spring contract?

13_Energy_momentum/e_13_1_034.html

Momentum Conservation

A particle is at rest in a constant magnetic field $\vec{B}=B\hat{z}$ .
Suddenly it decays into 3 particles (with mass and charge) $m_1,q$ , $m_2,-q$ and $m_3$ .
The particles $m_1,q$ and $m_2,-q$ make a circular motion with diameter of $l_1$ and $l_2$ respectively.
Assume that the angle between the initial velocities of m1 and m2 is $\gamma$ .
What is the velocity of the third particle?

13_Energy_momentum/e_13_1_035.html

Many Particle System

Show that the kinetic energy of two particles with masses $m_1$ and $m_2$ splits into the kinetic energy of the center of mass and the kinetic energy of the relative motion.

13_Energy_momentum/e_13_1_036.html

Many Particle System

Two bodies ( $m_1$ and $m_2$ ) are at distamce $L$ from each other.
At $t=0$ $m_1$ starts to "pull" $m_2$ with a constant force $F$ .
1. Where will the masses meet?
2. What will be the velocities of the bodies before they collide?

13_Energy_momentum/e_13_1_037.html

אנרגיה ותנועה מעגלית

גוף מחליק ללא חיכוך במהירות V0 על מישור אופקי המתחבר בנקודה A למסילה מעגלית אנכית בעלת רדיוס R=1m .
בנקודה B הנמצאת בגובה h = 1.707R מתנתק הגוף מהמסילה וממשיך במעופו עד לפגיעתו במישור האופקי בנקודה C.
א. מהי מהירות הגוף בעוברו בנקודה B ?
ב. מה מהירותו ההתחלתית V0 של הגוף?
ג. מה המרחק בין הנקודות C ו-A ?

13_Energy_momentum/e_13_1_038.html

עבודה

ידוע שהכח שפועל על גוף הוא: $\vec{F} = (2x,5)$ .
א. מהי העבודה הדרושה בשביל להזיז את הגוף מ- $\vec{x_1}%20=%20(1,0)$ אל $\vec{x_2}%20=%20(1,0)$
ב. מהי העבודה הדרושה בשביל להזיז את הגוף מ- $\vec{x_1}%20=%20(0,1)$ אל $\vec{x_2}%20=%20(0,5)$

13_Energy_momentum/e_13_1_039.html

תנועה מעגלית ושימור תנע

קליע שמסתו m פוגע בבול עץ שמסתו M במהירות v ויוצא במהירות v/2 .
בול העץ הקשור בחוט מבצע תנועה מעגלית ברדיוס R.
מה צריכה להיות המהירות המינימלית v של הקליע (לפני הפגיעה) כדי שבול העץ יבצע סיבוב שלם ?

13_Energy_momentum/e_13_1_040.html

תנע

גוף נזרק כלפי מעלה במהירות 30 מטר לשניה בהשפעת g. ב-2 שניות התנע שלו משתנה ב 20- [ק"ג*מטר/שניה]
א. מהו המתקף שפעל עליו במשך 2 השניות?
ב. מהי מסתו?
ג. מהו הכוח שפועל עליו?
ד. מצא את מהירות הגוף לאחר 2 שניות

13_Energy_momentum/e_13_1_041.html

התנגשות

קליע שמסתו 5 גרם ומהירותו 400 מטר לשניה נורה לעבר מטוטלת בליסטית שמסתה 4 ק"ג.
בכמה תעלה המטוטלת לאחר ההתנגשות? כמה אחוז מהאנרגיה הלך לאיבוד?

13_Energy_momentum/e_13_1_042.html

עבודה

לבנה במשקל 263 גרם נופלת על קפיץ אנכי עם קבוע קפיץ של $2.52 [N/cm]$ . הלבנה נצמדת לקפיץ, והקפיץ מתכווץ 11.8 ס"מ עד שנעצר לרגע במנוחה. בזמן שהקפיץ מתכווץ, מצאו:
א) כמה עבודה נעשית על ידי כוח הכבידה ?
ב) כמה עבודה נעשית על ידי כוח הקפיץ ?
ג) באיזו מהירות פגעה הלבנה בקפיץ ?

13_Energy_momentum/e_13_1_043.html

תנועה במסה משתנה

עגלה עמוסת חול נגררת על ידי כוח קבוע $F_0\hat x$ . עקב חור בקרקעית נשפך חול בקצב אחיד $\frac{dm}{dt}=-\lambda$ . כתבו ופתרו את משוואות התנועה.

13_Energy_momentum/e_13_1_044.html

Definition of torque

A particle is located at $\vec{r}=\left(0.54m\right) \hat{i}+\left(-0.36m\right) \hat{j}+\left(0.85m\right) \hat{k}$ . A constant force of magnitude 2.6N acts on the particle. find the components of the torque about the origin when the force acts in
a) the positive $\hat x$ direction.
b) the negative $\hat z$ direction.

13_Energy_momentum/e_13_1_045.html

תנועה במסה משתנה

לווין נע דרך צביר גזי דליל באזור בו כח הכובד זניח. תוך כדי תנועתו, מספח הלווין חלקיקים מהצביר הגזי כך שמסתו גדלה בקצב $\frac{dm}{dt}=kv$ (k - קבוע). מהירות הלווין ב t=0 היא $v_0$ , ומסתו אז $m_0$ . נניח כי הצביר הגזי במנוחה $v_{gas}=0$ . מהי מהירות הלווין כפונקציה של הזמן.

13_Energy_momentum/e_13_1_046.html

פוטנציאל מרכזי

גוף בעל מסה m נע בפוטנציאל מרכזי $U=-k/r$ במסלול אליפטי כאשר $r_{min}$ ו- $r_{max}$ נתונים. בנקודה $r_{min}$ משנים את המהירות שלו מיידית כך שהוא ממשיך במסלול מעגלי. מה שינוי התנע המיידי באותה נקודה ?
(פיסיקה 1 לפיסיקאים, 2006-7, מועד א')

13_Energy_momentum/e_13_2_004.html

כוחות משמרים

מי מבין הכוחות הבאים הוא כוח משמר?

$\vec F = (y^2 - x^2)\hat x + 3 x y \hat y$
ככוח הכבידה $\vec F = \frac{Gm_1 m_2 }{r^2} \hat r$
כוח של קפיץ $\vec F = -k \vec x$

13_Energy_momentum/e_13_2_005.html

"שריפת קלוריות"

האנרגיה שבמזון נמדדת ביחידות של קלוריה. קלוריה זו יחידת אנרגיה תרמית, שיחס המרתה ל –SI הוא 1 cal = 4.2 J . בהנחה שאפשר להמיר כ- 50% מכמות האנרגיה שאגורה במזון לאנרגיה מכאנית, חשב/י לאיזה גובה את/ה צריך/ה לטפס (למשל בסטפר בחדר כושר) כדי לשרוף את האנרגיה המתקבלת מאכילת 100 gr לחם. נתון שבכמות זו של לחם יש 250 kcal.

13_Energy_momentum/e_13_2_006.html

מסה נעה מפסגת משטח כדורי

מסה m מתחילה לנוע מפסגת משטח כדורי בעל רדיוס R. המשטח הוא חלק ומקובע לקרקע.

מצא/י את האנרגיה הפוטנציאלית כפונקציה של θ.
מצא/י את האנרגיה הקינטית כפונקציה של θ.
מצא/י את התאוצה הרדיאלית והמשיקית כפונקציה של θ.
הראה/י שאילו היה קיים חיכוך, היה החלקיק עוזב את המשטח בזווית גדולה יותר.

13_Energy_momentum/e_13_2_007.html

פגיעת אסטרואיד בכדור הארץ

אסטרואיד 1989FC הנו בעל רדיוס של 800 מטר,וצפיפות ρ = 7 gr/cm3 (בערך של ברזל). מהירותו של האסטרואיד ביחס לכדור הארץ היא 74014 km/hr. בהנחה והוא היה פוגע בכדור הארץ, והפגיעה הייתה מתרחשת בים (סיכוי של 70%), לאיזה גובה היה מתרומם הטסונמי (נד מים) בעקבות הפגיעה?
הנחות ונתונים נוספים:
צורת הטסונמי היא היא משולשת, שליש מאנרגיית הפגיעה מושקעת ביצירת הטסונמי, צפיפות המים היא ρ = 1 gr/cm3, מהירות ההתקדמות של הטסונמי היא 1700 km/hr, אורך קו החוף בו פוגע הטסונמי הוא 10000 km. הנח שהגובה של מרכז המסה (בשביל חישוב האנרגיה הפוטנציאלית) נמצא בשליש הגובה.

13_Energy_momentum/e_13_2_008.html

תנועת טבעת על קשת

טבעת בעלת מסה m=5 kg נעה על מסילה חסרת חיכוך ABC, שצורתה חצי מעגל ברדיוס R=2 m. על הטבעת פועלים שני כוחות בעלי גודל F = 40 N ו- F'= 150 N. הכוח משיק למעגל במשך כל זמן התנועה. הכוח 'F שומר על כיוון קבוע של 30º מעל לאופק.

חשב/י את העבודה הכוללת המבוצעת על ידי מערכת הכוחות הפועלים על הטבעת כאשר היא נעה מ-A ל-B.
חשב/י את העבודה הכוללת המבוצעת על ידי מערכת הכוחות הפועלים על הטבעת כאשר היא נעה מ-A ל-C.

13_Energy_momentum/e_13_2_009.html

לב האדם

לב האדם הוא משאבה רבת כוח ואמינה ביותר. בכל יממה הוא שואב ופולט כ- 7500 ליטרים של דם. אם העבודה הנעשית על ידי הלב שווה לעבודה הדרושה להעלות כמות כזו של דם לגובה ממוצע של אישה – 1.63m, ואם צפיפות הדם שווה לצפיפות המים,

כמה עבודה עושה הלב ביממה?
מה תפוקת ההספק שלו בואטים?

13_Energy_momentum/e_13_2_010.html

פעלולן

מסת פעלולן בקרקס 60 ק"ג, הפעלולן מבצע תרגיל בו הוא נורה על ידי קפיץ בעל קבוע של 2000 נ'/מ'. הקפיץ מכווץ לפני הירי ב- 1 מטר ביחס למצב הרפוי ומערכת הירי מוצבת בזווית של °30 מעל האופק. באיזה מרחק כדאי לעוזר הפעלולן להציב את רשת הביטחון כדי שלא יאבד את העבודה (ואת הבוס).
הניחו כי רשת הביטחון פרושה בגובה השווה לגובה ניתוק הפעלולן מהקפיץ.

13_Energy_momentum/e_13_2_011.html

פוטנציאל מרכזי ויוניזציה

חלקיק קשור לנקודה מסויימת (מרכז הכוח). האנרגיה הפוטנציאלית של החלקיק היא $u(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$ , כאשר r הוא מרחק הגוף ממרכז הכוח. A ו- B קבועים חיוביים.

מצא/י את מרחק שיווי המשקל $r_0$ הראה/י כי ש.מ. הוא יציב.
חשב/י את אנרגיית היוניציה $\epsilon_0$ . כלומר, העבודה שיש להשקיע כדי להרחיק את החלקיק ממרחק $r_0$ לאינסוף.
בטא/י את $u(r)$ בעזרת $r_0$ ו $\epsilon_0$
מהי העבודה שמבצע הכוח המרכזי הנגזר מ- $u(r)$ כשהחלקיק עובר מנקודה 1 $(\sqrt{2}r_0, \; \sqrt{2}r_0)$ לנקודה 2 $(\frac{r_0}{\sqrt{2}}, \; \frac{r_0}{\sqrt{2}})$ במישור xy ? בטא/י בעזרת $\epsilon_0$ .
אם נתון שהאנרגיה הכוללת של החלקיק היא $E = -\frac{3 \epsilon_0}{4}$ , וכן נתון שתנועתו רדיאלית בלבד, מצא/י את הנקודות בהן המהירות מתאפסת.

13_Energy_momentum/e_13_2_012.html

שאלת הוק

אחד הגורמים שעוררו את עבודתו של ניוטון על המכניקה היתה שאלה ששלח לו הוק:
אם קודחים בור באדמה עד לצידו השני של כדור הארץ, ומפילים לתוכו כדור, מה תהיה תנועתו?

13_Energy_momentum/e_13_2_013.html

שרשרת על שולחן

נתונה שרשרת בעלת מסה m ואורך L המונחת על שולחן חסר חיכוך, כאשר רבע מאורכה נשאר תלוי באוויר כמתואר באיור. כמה עבודה יש להשקיע בכדי למשוך את השרשרת במלואה חזרה לשולחן?

13_Energy_momentum/e_13_2_014.html

חטיפת כדורים

בסרטים רואים בד"כ כי האדם (מ"הרעים" כמובן) החוטף כדור עף לאחור בעוצמה רבה. האם סצינות אלו מציאותיות?
נתונים:
משקל אדם ממוצע – 80 kg.עבור כדור אקדח גדול (קליבר 0.45 inch): מסה - 230 grain ,מהירות – 830 ft./sec.עבור כדור 7.62 מ"מ של רובה M-24: מסה – 115 grain , מהירות – 2180 mi/hr.
הערה: grain היא מידת משקל עבור קליעים. grain אחד שווה למשקל גרגר חיטה בודד מהשיבולת המרכזית. 1 grain=0.0648 gram.

13_Energy_momentum/e_13_2_015.html

שליחת חללית לצדק

כאשר NASA משגרת חללית לכיוון צדק, היא שולחת אותה להקיף קודם את נוגה. האם יש היגיון בשיגור כזה? האם זהו עוד מחדל של NASA?
מהירות החללית - 12 קמ/שנ' , מהירות נוגה - 35 קמ/שנ'.
רמז: ניתן להתייחס להקפת נוגה כאל התנגשות אלסטית.

13_Energy_momentum/e_13_2_016.html

גוף על קפיץ מתפרק

נתונים שני גופים כמתואר באיור. ברגע מסוים מתרחש פיצוץ בין שניהם וגוף m1 ניתז לכיוון ימין במהירות v1.

מה היא מהירותו המרבית של גוף m2? באיזו מיקום?
מה היא משרעת התנועה?
מה הוא ההעתק כפונקציה של הזמן?

13_Energy_momentum/e_13_2_017.html

התפוצצות פגז בעת תנועתו

פגז נורה בזווית 60 מעלות מעל לאופק במהירות לוע של 360 m/s. בפסגת מסלולו הוא מתפוצץ לשני רסיסים שווי מסה. רסיס אחד נופל אנכית כלפי מטה בנקודת הפיצוץ. באיזה מרחק מנקודת הירי פוגע הרסיס השני בקרקע?

13_Energy_momentum/e_13_2_018.html

תנועת קרונות בגשם

ביום גשם משלחים שני קרונות זהים במהירות התחלתית שווה. בקרון האחד מצטברים מי הגשם בקצב קבוע, ובקרון השני ישנו חור המאפשר למי הגשם לזרום החוצה בניצב לכיוון התנועה. החיכוך בין הקרון והמסילה זניח.

רשום ביטוי למהירות כל קרון כפונקציה של הזמן.
איזה קרון יגיע למרחק גדול יותר עד עצירתו הסופית?

13_Energy_momentum/e_13_2_019.html

ביקוע

ביקוע גרעיני, תהליך המספק אנרגיה בתחנות כוח גרעיניות, מתרחש כאשר גרעין כבד מתבקע לשני גרעינים קטנים יותר. ריאקציה אחת כזו מתרחשת כאשר נויטרון מתנגש בגרעין של U235 ומפצל אותו לגרעין Ba141 ולגרעין Kr92. בריאקציה זו מתפצלים ונתזים גם שני נויטרונים נוספים מגרעין ה- U235 המקורי. איור א' מתאר את המצב לפני ההתנגשות. לאחר ההתנגשות נע גרעין ה- Ba141 בכיוון z+, וגרעין -הKr92 בכיוון z-. שלושת הנויטרונים נעים במישור xy כמתואר באיור ב'. נתון כי מהירותו ההתחלתית של הנויטרון היא 4 מיליון מ/שנ', ומהירותו הסופית 2 מיליון מ/שנ'. מה הן מהירויות שני הנויטרונים האחרים? ומה ניתן לומר על מהירויות גרעיני ה- Ba141 וה- Kr92?

13_Energy_momentum/e_13_2_031.html

תנע

מסה $m_1$ מונחת על גבי מסה $m_2$ המונחת על שולחן חסר חיכוך. בין המסות קיים חיכוך בעל מקדם חיכוך קינטי $mu$ .
מעינקים למסה $m_1$ מהירות התחלתית $v0$ . מה יהיו מהירויות המסות לאחר זמן רב?
א. פתור/י על ידי שיקולי תנע.
ב. פתור/י על ידי שיקולי אנרגיה.

13_Energy_momentum/e_13_2_032.html

תנע

חבל גמיש ואחיד בעל אורך $L$ ומסה $m$ מונח על הקרקע. מהו הכוח שיש להפעיל על מנת להרים אנכית
את אחד מקצות החבל במהירות קבועה $v$ ? מצא/י ביטוי לכוח כפונקציה של אורך החבל המורם $l$ .

13_Energy_momentum/e_13_2_033.html

תנע

קרון בעלי מסה $m_0$ נוסע על מסילה חסרת חיכוך במהירות $v0$ . לפתע מתחיל לרדת גשם ומים נאגרים בקרון
כך שקצב גידול המסה שלו $\frac{dm}{dt}=\alpha$ .
א. מהי מהירות הקרון כפונקציה של הזמן?
ב. מה היתה מהירות הקרון אם בקרון היה חור כך שהמים
היו זורמים החוצה בניצב לכיוון הנסיעה? (הנח/י כי המים לא מצטברים בקרון).
בטא/י תשובותיך באמצעות $m_0$ , $v0$ ו- $\alpha$ .

13_Energy_momentum/e_13_2_034.html

עבודה ואנרגיה

שרשרת במסה m ובאורך d מונחת על שולחן אופקי, כך שרבע ממנה תלוי מעבר לקצה השולחן. בין השרשרת והשולחן מקדם חיכוך 0.2.
השרשרת משוחררת ממצב סטטי ומחליקה מן השולחן. חשבו מה תהיה מהירות השרשרת ברגע שתסיים להחליק על השולחן.

13_Energy_momentum/e_13_2_035.html

פוטנציאל מרכזי

הוקטור רונגה לנץ מוגדר ע"י: $\vec{A} =\vec{P}X(\vec{r}X \vec{P)}-r^{-1}mk\vec{r}$
הראו שעבור פוטנציאל הכבידה: $u(r)=-kr^{-1}$
וקטור רונגה לנץ הוא קבוע תנועה.

13_Energy_momentum/e_13_3_100.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי מחליק על פני משטח עקום (ראה/י שרטוט). הגוף משוחרר ממנוחה בנקודה $A$ ונעצר בנקודה $B$ הנמצאת במרחק אופקי $s$ ממנה. מקדם החיכוך הקינטי בין הגוף לבין המשטח הוא $mu$ . מהו הפרש הגבהים בין הנקודות $A$ ו- $B$ ?
הנח/י שמהירות הגוף היא קטנה כך שניתן להזניח את התוספת לכוח הנורמלי הנוצרת בשל התנועה במסלול עקום.

13_Energy_momentum/e_13_3_101.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי שמסתו $m=4\mbox{kg}$ נע במעלה מישור משופע. זוית הנטיה של המישור ביחס לאופק היא $\theta=20^\circ$ . הגוף נע בהשפעת הכוחות הבאים:
- $F_1=80\mbox{N}$ בכיוון האופקי.
- $F_2=100\mbox{N}$ שכיוונו במעלה המישור המשופע.
- $f=10\mbox{N}$ כוח חיכוך שגודלו קבוע.
- כוח הכובד.

א. חשב/י את העבודה שנעשתה על ידי הכוח השקול.
ב. חשב/י את העבודה שנעשתה על ידי כל אחד מהכוחות והראה שסכומם שווה לעבודת הכוח השקול.

13_Energy_momentum/e_13_3_102.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי מונח בתחתית מישור משופע שזוית נטייתו ביחס לאופק $\theta$ . מעניקים לגוף מהירות התחלתית $v_0$ במעלה המישור המשופע. מקדם החיכוך הסטטי והקינטי בין הגוף לבין המישור הוא $\mu$ .
א. מה המרחק שיעבור הגוף במעלה המישור המשופע עד שייעצר? בטא/י תשובתך באמצעות $v_0$ , $g$ , $\theta$ ו- $\mu$ .
ב. נתון כי מהירות הגוף בהגיעו לתחתית המישור המשופע $v_1$ . הבע/י את היחס $v_0/v_1$ באמצעות $\theta$ ו- $\mu$ .
ג. מה קורה ליחס שחושב בסעיף הקודם כאשר $\mu>\tan(\theta)$ ? הסבר/י.

13_Energy_momentum/e_13_3_103.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי מבעל מסה $m$ נע במישור. מיקומו כפונקציה של הזמן נתון על ידי הוקטור $\vec{r}=a\cos(\omega t)\hat{i}+b\sin(\omega t)\hat{j}$ כאשר $a$ , $b$ , ו- $\omega$ קבועים וחיוביים. כמו כן $a>b$ .
א. הראה/י כי מסלול החלקיק יוצר אליפסה שמרכזה בראשית.
ב. הראה/י כי הכוח הפועל על החלקיק מופנה תמיד לכיוון הראשית.
ג. מה העבודה שנעשית על החלקיק כאשר הוא נע מהנקודה $\vec{A}=a\hat{i}+0\hat{j}$ לנקודה $\vec{B}=0\hat{i}+b\hat{j}$ ?
ד. איזה ערך מקבל הביטוי שחושב בסעיף הקודם כאשר $a=b$ ? הסבר/י.
להנאתכם משוואת אליפסה: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$

13_Energy_momentum/e_13_3_104.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי בעל מסה $m=12\mbox{kg}$ נמצא במעלה שיפוע של $\theta=30^\circ$ (ראה/י שרטוט) בעל מקדם חיכוך קינטי $\mu=0.2$ . בתחתית השיפוע נמצא קפיץ, אשר כוח של $72\mbox{N}$ מכווצו ב- $2\mbox{cm}$ . הגוף משוחרר מגובה $H$ כך שהוא נעצר כאשר הקפיץ מכווץ ב- $5.5\mbox{cm}$ .
א. מהי מהירות הגוף בהגיעו לקפיץ?
ב. מה המרחק שהגוף עבר במורד השיפוע עד לעצירתו?
ג. מהו המרחק לאורך השיפוע אותו יעלה הגוף חזרה?

13_Energy_momentum/e_13_3_105.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי בעל מסה $m$ מחליק ללא חיכוך על מסילה כמתואר בשרטוט.
א. הגוף משוחרר ממנוחה בנקודה $A$ . מהו הכוח הפועל על הגוף בנקודה $B$ ?
ב. מהו הגובה המינימלי מעל הנקודה $B$ ממנו יש לשחרר את המסה על מנת שתשלים סיבוב מלא בלולאה?

13_Energy_momentum/e_13_3_106.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי בעל מסה $m$ מחליק על מסילה כמתואר בשרטוט. הפרש הגבהים בין נקודה $A$ לבין נקודה $B$ הוא $H$ . קטע $BC$ הינו קו ישר ואופקי. הגוף משוחרר ממנוחה בנקודה $A$ . בנקודה $C$ הגוף מתנגש בקפיץ בעל קבוע קפיץ $k$ .

מהו הכיווץ המקסימלי של הקפיץ כאשר:

א. המסילה חסרת חיכוך.
ב. בקטע $BC$ שאורכו $s$ קיים חיכוך בעל מקדם חיכוך קינטי $\mu$ .

13_Energy_momentum/e_13_3_107.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי בעל מסה $m=263\mbox{gr}$ נוחת על קפיץ בעל קבוע $k=2.52\frac{\mbox{N}}{\mbox{cm}}$ וגורמת לו כיווץ מקסימלי של $11.8{\mbox{cm}}$ .
א. כמה עבודה נעשתה על ידי כוח הכובד במהלך כיווץ הקפיץ?
ב. כמה עבודה נעשתה על ידי הקפיץ במהלך כיווץ הקפיץ?
ג. מה היתה מהירות המסה הרגע פגיעתה בקפיץ?
ד. לו מהירות המסה ברגע פגיעתה בקפיץ היתה כפולה, מה היה כיווץ הקפיץ המקסימלי? כמה פתרונות למשוואה שקבלת ומה מייצג כל פתרון?

13_Energy_momentum/e_13_3_108.html

עבודה ואנרגיה

גוף נקודתי משוחרר ממנוחה בפסגת משטח כדורי (ראה/י שרטוט).
א. בהזנחת החיכוך, באיזו זוית יתנתק הגוף מהמשטח?
ב. חוזרים על התהליך בירח. באיזו זוית יתנתק הגוף מהמשטח?
ג. בחזרה בכדור הארץ, הראה/י כי ללא הזנחת החיכוך הזוית בה מתנתק הגוף מהמשטח גדולה יותר.

13_Energy_momentum/e_13_3_109.html

עבודה ואנרגיה

איש חרוץ גורר עגלה בעלת מסה $m_1$ כך שמהירותה $v$ קבועה כל הזמן. בזמן מסויים מניחים על העגלה תיבה בעלת מסה $m_2$ . ברגע הנחת התיבה, מהירותה של התיבה $0$ . בין העגלה לבין התיבה חיכוך $\mu$ .
א. שרטט/י תרשים כוחות עבור העגלה ועבור התיבה.
ב. מהי העבודה שבוצעה על התיבה מרגע הנחתה על העגלה ועד שהגיע למהירות $v$ ? מי ביצע עבודה זו?
ג. מהי העבודה שמבצע האיש החרוץ מרגע הנחת התיבה על העגלה ועד שהגיעה למהירות $v$ ?
ד. הסבר/י מדוע התשובות לסעיפים ב' ו-ג' שונות.

13_Energy_momentum/e_13_3_201.html

מתקף ותנע

בול עץ בעל מסה $m_1$ מונח על משטח אופקי ומחובר לקפיץ בעל קבוע קפיץ $k$ . קליע בעל מסה $m_2$ נורה במהירות $v_0$ וננעץ בבול. מהי ההתכווצות המקסימלי של הקפיץ?
א. כאשר בין הבול לבין המשטח אין חיכוך.
ב. כאשר בין הבול לבין המשטח חיכוך קינטי $\mu$ .

13_Energy_momentum/e_13_3_202.html

מתקף ותנע

חלקיק נקודתי מסה $2m$ מחליק על משטח אופקי חלק במהירות $v_0$ לאורך ציר $x$ (ראה/י שרטוט). החלקיק מתנגש בחלקיק אחר בעל מסה $m$ הנמצא במנוחה. לאחר ההתנגשות נע החלקיק שמסתו $m$ במהירות $v_0/2$ בכיוון היוצר זוית בת $\theta=30^{\circ}$ עם ציר $x$ .
א. מהי המהירות (גודל וכיוון) של החלקיק שמסתו $2m$ לאחר ההתנגשות?
ב. האם ההתנגשות אלסטית לחלוטין?

13_Energy_momentum/e_13_3_203.html

מתקף ותנע

תיבה שמסתה $m_2$ מונחת על עגלה שמסתה $m_1$ היכולה לנוע ללא חיכוך על משטח אופקי (ראה/י שרטוט). מעניקים לתיבה מהירות $v_0$ .
א. מהו הגובה המינימלי $H$ של העגלה שימנע את מעבר התיבה לצידה השני?
ב. אם גובה העגלה גדול מ- $H$ שחושב בסעיף א', מהן מהירויות העגלה והתיבה כאשר התיבה חוזרת לתחתית העגלה?

13_Energy_momentum/e_13_4_071.html

תנע ואנרגיה

בסרטים רואים בד" כ כי האדם (מ" הרעים" כמובן) החוטף כדור עף לאחור בעוצמה רבה. האם סצינות אלו מציאותיות?
נתונים:
משקל אדם ממוצע – 80 kg.
עבור כדור אקדח גדול (קליבר 0.45 inch): מסה - 230 grain ,
מהירות – 830 ft./sec.
עבור כדור 7.62 מ" מ של רובה M-24: מסה – 115 grain ,
מהירות – 2180 mi/hr.
הערה: grain היא מידת משקל עבור קליעים. grain אחד שווה למשקל גרגר חיטה בודד מהשיבולת המרכזית. $1 grain=0.0648 gram$ .

13_Energy_momentum/e_13_4_072.html

תנע ואנרגיה

קליע במסה 3.5 ק" ג נורה אופקית לעבר שתי קוביות הנמצאות במנוחה על-גבי שולחן חסר חיכוך. מסת הקוביה הראשונה 1.20 ק" ג ומסת הקוביה השניה 1.80 ק" ג. הקליע עובר דרך הקוביה הראשונה ונתקע בשניה. בעוברו דרך הקוביה הראשונה הוא מעניק לקוביה מהירות של 0.63 מטר לשניה, ולאחר שהוא ננעץ בקוביה השניה, מהירותה 1.4 מטר לשניה.

·מהי מהירות הקליע לאחר שחדר דרך הקוביה הראשונה?

·מהי המהירות ההתחלתית של הקליע?

13_Energy_momentum/e_13_4_073.html

תנע ואנרגיה

עגלה עמוסת חול נגררת על ידי כוח קבוע $\vec F=F\hat x$ . עקב חור בקרקעית נשפך חול בקצב אחיד $\frac{dm}{dt}=-\lambda$ .
הניחו כי בזמן $t=0$ העגלה במנוחה, ומסתה אז היא $m_0$ .

א) מצאו את המסה כתלות בזמן.

ב) מצאו את מהירות העגלה כתלות בזמן.

13_Energy_momentum/e_13_4_074.html

תנע ואנרגיה

כדור שמסתו $m/2$ ובתוכו דחוס גז שמסתו $m/2$ מונח על גבי שולחן חסר חיכוך. קליע שמסתו $m/4$ ומהירותו $v_0 \hat x$ חודר לתוך הכדור ונלכד בתוכו ברגע t=0. (ניתן להזניח את פליטת הגז במהלך ההתנגשות). הגז הדחוס בכדור נפלט במהירות קבועה $-\frac{1}{2}v_0 \hat x$ ביחס לכדור ובקצב קבוע, $M/4$ (a- פרמטר חיובי).

·מהי מהירותו של הכדור לאחר ההתנגשות עם הקליע.

·מצא את מהירות הכדור כפונקציה של הזמן (הגז מתחיל להיפלט ב-t=0).

·מהי מהירותו הסופית של הכדור.

13_Energy_momentum/e_13_4_075.html

אנרגיה מהירות וזמן

שני גופים זהים מתחילים לנוע ימינה, כפי שמראה האיור, במהירויות זהות, מנקודה $A$ . איזה גוף יגיע ראשון לנקודה $B$ ?

13_Energy_momentum/e_13_4_076.html

שימור אנרגיה

א) הוכח/י מי מבין הכוחות הבאים הוא כוח משמר:
$a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ $\vec{F}=(y^2-x^2)\hat{x}+3xy\hat{y}+0\hat{z}$
$a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ $\vec{F}=q\vec{V}\times\vec{B}$ כאשר B הוא וקטור כלשהו ו-V היא מהירות (רמז: לשים לב למכפלה הוקטורית ולא לשכוח ש- $w=\int\vec{F}\cdot d\vec{x}$ )
ב) היחידות של מהירות האור c הן $\frac{m}{sec}$ , של קבוע הכבידה G הן $\frac{m^3}{sec^2 kg}$ ושל קבוע פלנק h הן $\frac{kg}{m^2sec}$ .על ידי שימוש בגדלים אלו מצא/י גודל בעל יחידות של:I) זמן, II) מרחק

13_Energy_momentum/e_13_4_077.html

הספק

א) לב האדם הוא משאבה רבת כוח ואמינה ביותר. בכל יממה הוא שואב ופולט כ-7500 ליטרים של דם. אם העבודה הנעשית על ידי הלב  שווה לעבודה הדרושה להעלות כמות כזו של דם לגובה ממוצע של אישה – 1.63m, ואם צפיפות הדם שווה לצפיפות המים
    I) כמה עבודה עושה הלב ביממה?
    II) מה תפוקת ההספק שלו בואטים?
ב) נתון רכב במשקל 1.2טון, והספק מנוע של 125hp. בנסיעה מישורית מפתח הרכב מהירות מכסימלית של 165 קמ"ש.
    I) מה הכוח שמפתח המנוע במהירות זו?
    II)כעת עולה הרכב במעלה מדרון בשיפוע של 5º. חשב/י איזו מהירות מכסימאלית יפתח הרכב.
ג) מה מציינת היחידה קילוואט-שעה ( $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ )? מה ערכה ב-SI ?

13_Energy_momentum/e_13_4_078.html

תנע ואמת בפרסום

בהיותך מהנדס/ת מחלקת חגורות בטיחות של יצרנית רכב ידועה ניגש אליך מנהל המחלקה ואומר לך שהוא שמע ברדיו שבעת התנגשות במהירות של 60 קמ"ש, תינוק במשקל 2.5 ק"ג מפעיל על אמו שמחזיקה אותו כוח השווה למשקל של טון אחד!
האם זה נכון? (התנגשות נמשכת 5 msec בממוצע)
א) מה פתאום! זה שוב הרדיו עם השטויות שלו!
ב) כן, זה מה שקורה כשהילד לא בכיסא בטיחות!
ג) מה???

13_Energy_momentum/e_13_4_079.html

מזחלת - מסה משתנה

מזחלת מלאה בחול מחליקה ללא חיכוך במורד מישור ששיפועו 30°. נתון כי החול דולף מתחתית המזחלת בקצב של 2 kg/sec. המזחלת מתחילה ממנוחה ומסתה 40 kg.
א) מה תאוצת המזחלת ומה ההבדל בין החול לבין המים בשאלה מספר 1?
ב) כמה זמן ייקח לה לעבור 120 m לאורך המורד?

13_Energy_momentum/e_13_4_080.html

צלחת חרס ושימור תנע

צלחת חרס שמסתה $0.25 kg$ נורית במהירות של $108 \frac {km}{hr}$ בזווית של 30°. בשיא הגובה היא נפגעת מלמטה על ידי קליע שמסתו 15g הנע כלפי מעלה במהירות של $200 \frac{m}{sec}$ . הקליע נתקע בצלחת החרס.
א) לאיזה גובה נוסף תגיע הצלחת?
ב) לאיזה תוספת מרחק תגיע הצלחת?

13_Energy_momentum/e_13_4_081.html

שימור תנע

נתון גוף m1 המשוחרר ממנוחה מראשו של מדרון משופע בזווית α
וגובה h. מסתו של המדרון המשופע הוא m2, כמו"כ נתון כי אין חיכוך בין m1 ל- m2 ולקרקע.
א) מצא/י את מהירותם של m1 , m2 כאשר m1 מגיע לקרקע.
ב) מה הוא המרחק האופקי שעבר m1עד אשר הגיע לקרקע
(רמז: זכור את אשר אמר לך מרכז המסה!)?

13_Energy_momentum/e_13_4_082.html

רקטה

נתונה רקטה בעלת מסה התחלתית m0 . המנוע של הרקטה שורף דלק בקצב $Const=\dot{m}=\frac{\Delta{m}}{\Delta{t}$ , וגזי הפליטה יוצאים במהירות Vr יחסית לרקטה.

א) מצא/י את הכוח (הדחף) שמפיק המנוע, ואת תאוצת הרקטה.
ב) $m_0=2.55\times10^5kg$ , מתוכם $1.81\times10^5kg$ הם דלק. קצב הבעירה הוא 480 kg/sec , מהירות גזי הפליטה היא 3.27 km/sec. האם הרקטה תצליח להמריא מכדו"ה?

13_Energy_momentum/e_13_4_083.html

עגלה על מסילה

עגלה עם מסה 67 ק"ג, נעה על גבי מסילה שמתוארת ע"י המשוואה: $y= \frac{R Sin (\frac{x}{L})}{x}$

כאשר $o$ ו- $y= \frac{R Sin (\frac{x}{L})}{x}$

אין חיכוך על המסילה (ניתן להניח שימור אנרגיה)
לחשב את העבודה שנעשית ע"י כל הכוחות כאשר העגלה נעה בין $x_1 = 10m$ ו- $x_1 = 100m$

13_Energy_momentum/e_13_4_084.html

שימור תנע

הראה דרך מרכז המסה שאם אין כוחות חיצוניים יש שימור תנע?
האם זה אומר שיש שימור אנרגיה?

13_Energy_momentum/e_13_4_085.html

מרכז מסה של תיל

נתון תיל באורך $L$ ומסה $m$ . צפיפות המסה היא : $\lam = k x$
קצהו השמאלי של התיל נמצא בראשית הצירים.
א. בטא את $k$ באמצעות $m$ ו- $L$
ב. היכן מרכז המסה של התיל?

13_Energy_momentum/e_13_4_086.html

אב בן וסירה

אב ובנו נמצאים בקצהו השמאלי של סירה הנמצאת במנוחה.
ברגע מסוים הבן צועד למרכז הסירה והאב לקצה הימני של הסירה.
מסת הסירה - $m_B = 220 kg$
אורך הסירה - $m_B = 220 kg$
מסת האב - $m_{father}=100kg$
מסת הבן - $m_{son}=50kg$
בכמה הסירה זזה?

13_Energy_momentum/e_13_4_087.html

התנגשות אנשים במישור משופע

אברהם נמצא בקצה מישור משופע. הוא מחליק למטה (בלי חיכוך).
לאחר שעבר $m_{father}=100kg$ הוא מתנגש בבני והם ממשיכים להחליק ביחד.
עד איזה גובה הם יגיעו? (ביחס לנקודת המפגש)
נתון שבני שוקל שני שליש מאברהם

13_Energy_momentum/e_13_4_088.html

עגלה וגבעה

עגלה שמסתה $2kg$ עולה על גבעה שיכולה לנוע על משטח חסר חיכוך.
הגבעה נמצאת במנוחה לפני עליית העגלה. המהירות ההתחלתית של העגלה היא $2kg$
א. עד לאיזה גובה תעלה עגלה?
ב. מה תהיה מהירות העגלה ומהירות הגבעה לאחר שהעגלה תרד ממנה?

13_Energy_momentum/e_13_4_089.html

עבודה וקפיץ

מסה $m$ מופלת על קפיץ אנכי במנוחה. קבוע הקפיץ הוא $k$ .
המסה נצמדת לקפיץ ומכווצת אותו. אורך הכיווץ המקסימלי הוא $d$ .
בזמן שהקפיץ מתכווץ איזה עבודה נעשית
א. על ידי הגרויטציה.
ב. על ידי הקפיץ.
ג. מה הייתה מהירות המסה ברגע הפגיעה?
ד. נתון כי המסה נפלה ממנוחה, מאיזה גובה מעל הקפיץ היא נפלה?
ה. אם גובה הנפילה יוכפל מה יהיה הכיווץ המקסימלי של הקפיץ.

13_Energy_momentum/e_13_4_090.html

עבודה גוף עם חיכוך

גוף שמסתו $R$ . מחליק במורד מישור משופע למרחק $R$ . המישור נטוי בזוית $R$ מתחת לאופק. מקדם החיכוך בין
הגוף למשטח הוא $R$ . חשב:

א) את העבודה הנעשית על ידי החיכוך על המסה.

ב) את עבודת כח הכובד.

ג) את עבודת הכח הנורמלי.

ד) את סך העבודה הנעשית על הגוף.

ה) את מהירותו של הגוף אם הוא החל את תנועתו ממנוחה, הנח כי החיכוך מספיק חלש כך שהגוף לא נשאר במנוחה.

ו) חזור על הסעיף האחרון תוך שימוש במשוואות הקינמטיקה.

13_Energy_momentum/e_13_4_091.html

אנרגיה אלסטית

מסה $R$ מכווצת קפיץ שקבוע הכח שלו הוא $R$ , אורך הכיווץ הוא $R$ .
לאחר שחרורו, נעה המסה על משטח אופקי למרחק של $R$ עד הגיעו למנוחה.

A body is thrown vertically up with initial speed of $30 m/s$ with the influence of gravity. After $2 sec$ its momentum changes by $-20 Kg\frac{m}{s}$ .
1. What is the bodies mass?
2. What is the force acting on the body (use only the given)?
3. What is the velocity after $2 sec$ ?

13_Energy_momentum/e_13_5_067.html

Momentum

A bullet with mass $5 gr$ and speed $400 m/s$ is shot towards a ballistic pendulum with mass $4 Kg$ . how high will the pendulum rise after the collision? what is the percentage of the lost energy?

13_Energy_momentum/e_13_5_068.html

Momentum

A disk with mass $2m$ slides on a smooth horizontal surface with velocity $v_{0}$ and collides with a second disk with mass $m$ which is at rest. After the collision the second disk moves with velocity $0.5v_{0}$ in a direction of $30 deg$ relative to the direction of the first disks initial motion.
1. What is the velocity of the first disk after the collision?
2. Was the collision totally elastic?

13_Energy_momentum/e_13_5_069.html

Momentum

a ball with mass $2 Kg$ is thrown vertically up and blow up to three pieces at the top of its path. The first piece, with mass $1 Kg$ , moves up with velocity $3 m/s$ and the second piece, whose mass is $1/2 Kg$ , moves right with a velocity of $5 m/s$ . What is the velocity of the third piece?

13_Energy_momentum/e_13_5_080.html

עבודה של כוח משתנה

כוח משתנה פועל על מסה של 5 ק"ג בעלת מהירות התחלתית 4 מטר לשניה. הכוח תלוי בהעתק x ומתנהג אחרת בשלושה איזורי פעולה שונים:

            א. מהי העבודה בכל אחד מאיזורי הפעולה השונים?
            ב. מה השינוי באנרגיה לאחר 20 מטר?
            ג. מהי המהירות לאחר 20 מטר?

13_Energy_momentum/e_13_7_001.html

התנגשות בדו מימד

דיסקה שמסתה 2m מחליקה על משטח אופקי חלק במהירות v0 לאורך ציר ס ומתנגשת בדיסקה שניה שמסתה m הנמצאת במנוחה.
לאחר ההתנגשות נעה הדיסקה שמסתה m במהירות 0.5v0 בכיוון היוצר זווית בת 30 מעלות עם כיוון תנועתה של הדיסקה הפוגעת

א. מהו וקטור המהירות של הדיסקה 2m לאחר ההתנגשות?
ב. האם ההתנגשות הייתה אלסטית לחלוטין?

13_Energy_momentum/e_13_7_002.html

שיווי משקל

נתון מוט שמשקלו 25 ק"ג שנמצא בשיווי משקל (ראה ציור).

א. מצא את המתיחות בחוט שמחבר את המוט לקיר
ב. מצא את הכוח שמפעיל הקיר על המוט

13_Energy_momentum/e_13_7_003.html

שיווי משקל

א. מצא את מרכז המסה של גוף בצורת ח' כאשר אורך כל צלע l ומסת כל צלע m .
ב. מצא את מרכז המסה של משולש שווה צלעות כאשר אורך כל צלע l ומסת כל צלע m

13_Energy_momentum/e_13_7_004.html

שיווי משקל

א. מצא את סה"כ המומנט סביב ציר הסיבוב (מסומן באפור)

13_Energy_momentum/e_13_8_084.html

תנע ואנרגיה

ר', שחקן בייסבול מצטיין, הלך לשחק עם חבריו. כדור הבייסבול שמסתו 100 [g] נע במהירות אופקית של 40 [m/sec] לעבר המחבט של ר'. לאחר שסופג חבטה עף הכדור במהירות של 50 [m/sec] ובזווית של 37° מעל לאופק (לכיוון הנגדי, ראה/י ציור).
א.מהו המתקף שהופעל על הכדור בזמן החבטה ?
ב.בהנחה שהחבטה נמשכה 1.5 [msec], מהו הכוח הממוצע שפעל על הכדור בזמן זה ?
ג.מהו המתקף שפעל על המחבט ?
ד.לאיזה מרחק עף הכדור אם הוא עוזב את המחבט בגובה של 1 [m] מעל הקרקע ?

13_Energy_momentum/e_13_8_085.html

תנע ואנרגיה

מסה של 10 [kg] הנמצאת במנוחה מתחלקת לשלושה חלקים, הנעים לאחר החלוקה במישור x-y. חלק אחד מסתו m₁= 2 kg נע במהירות של u₁ = 4 m/sec בכיוון ציר x וחלק שני מסתו m₂ = 3 kg, נע במהירות של u₂ = 3 m/sec ובזווית של 30° ביחס לציר x. מצא/י את מהירותו של החלק השלישי.

13_Energy_momentum/e_13_8_086.html

תנע ואנרגיה

מסה של 2 kg מחליקה על שולחן חסר חיכוך במהירות של 10 m/sec. לפניה נעה באותו כיוון מסה של 4 kg במהירות של 3 m/sec. למסה זו מחובר קפיץ חסר מסה בעל קבוע של 11 N/m. מה תהיה ההתכווצות המכסימלית של הקפיץ ? מה יהיו המהירויות של שתי המסות לאחר שהקפיץ יחזור למצב רפוי והמסות ייפרדו ?

M =4 kg

m =2 kg

קפיץ חסר מסה

13_Energy_momentum/e_13_8_087.html

To push a 52-kg crate across a floor, a worker applies a force of 190 N, directed 22° below the horizontal.
As the crate moves 3.3 m, how much work is done on the crate by
(a) the worker,
(b) the force of gravity, and
(c) the normal force of the floor on the crate?

13_Energy_momentum/e_13_8_088.html

A l06-kg object is initially moving in a straight line with a speed of 51.3 m/s.
(a) If it is brought to a stop with a dece1eration of 1.97 m/s², what force is required, what distance does the object travel, and how much work is done by the force?
(b) Answer the same questions if the object's deceleration is 4.82 m/s².

13_Energy_momentum/e_13_8_089.html

To push a 25-kg crate up a 27° incline, a worker exerts a force of 120 N, parallel to the incline.
As the crate slides 3.6 m, how much work is done on the crate by
(a) the worker,
(b) the force of gravity, and
(c) the normal force of the incline?

13_Energy_momentum/e_13_8_090.html

A 52.3-kg trunk is pushed 5.95 m at constant speed up a 28.0° incline by a constant horizontal force.
The coefficient of kinetic friction between the trunk and the incline is 0.19. Calculate the work done by
(a) the applied force and
(b) the force of gravity.

13_Energy_momentum/e_13_8_091.html

A 47.2-kg block of ice slides down an incline 1.62 m long and 0.902 m high. A worker pushes up on the ice parallel to the incline so that it slides down at constant speed.
The coefficient of kinetic friction between the ice and the incline is 0.110. Find
(a) the force exerted by the worker,
(b) the work done by the worker on the block of ice, and
(c) the work done by gravity on the ice.

13_Energy_momentum/e_13_8_092.html

In a 100-person ski lift, a machine raises passengers averaging 667 N in weight a height of 152 m in 55.0 s, at constant speed.
Find the power output of the motor, assuming no frictional losses.

13_Energy_momentum/e_13_8_093.html

What power is developed by a grinding machine whose wheel has a radius of 20.7 cm and runs at 2.53 rev/s when the tool to be
sharpened is held against the wheel with a force of 180 N? The coefficient of friction between the tool and the wheel is 0.32.

13_Energy_momentum/e_13_8_094.html

A fully loaded freight elevator has a total mass of 1220 kg. It is required to travel downward 54.5 m in 43.0 s.
The counter weight has a mass of 1380 kg. Find the power output, in hp, of the elevator motor.
Ignore the work required to start and stop the elevator; that is, assume that it travels at constant speed.

13_Energy_momentum/e_13_8_095.html

The figure below shows a spring with a pointer attached, hanging next to a scale graduated in millimeters. Three different weights are hung from the spring, in turn, as shown.
(a) If all weight is removed from the spring, which mark on the scale will the pointer indicate?
(b) Find the weight W.

13_Energy_momentum/e_13_8_096.html

A spring has a force constant of 15.0 N/cm.
(a) How much work is required to extend the spring 7.60 mm from its relaxed position?
(b) How much work is needed to extend the spring an additional 7.60 mm?

13_Energy_momentum/e_13_8_097.html

An object of mass 0.675 kg on a frictionless table is attached to a string that passes through a hole in the table at the center of the horizontal circle in which the object moves with constant speed.
(a) If the radius of the circle is 0.500 m and the speed is 10.0 m/s, compute the tension in the string.
(b) It is found that drawing an additional 0.200 m of the string down through the hole, thereby reducing the radius of the circle to 0.300 m, has the effect of multiplying the original tension in the string by 4.63. Compute the total work done by the string on the revolving object during the reduction of the radius.

13_Energy_momentum/e_13_8_098.html

A force acts on a 2.80-kg particle in such a way that the position of the particle as a function of time is given by x = (3.0 m/s)t - (4.0 m/s2)t2 + (1.0 m/s3)t3.
(a) Find the work done by the force during the first 4.0 s.
(b) At what instantaneous rate is the force doing work on the particle at the instant t = 3.0 s?

13_Energy_momentum/e_13_8_099.html

A 3700-lb automobile (m = 1600 kg) starts from rest on a level road and gains a speed of 45 mi/h (= 72 km/h) in 33 s.
(a) What is the kinetic energy of the auto at the end of the 33 s?
(b) What is the average net power delivered to the car during the 33-s interval?
(c) What is the instantaneous power at the end of the 33-s interval assuming that the acceleration was constant?

13_Energy_momentum/e_13_8_100.html

The figure below shows an arrangement of pulleys designed to facilitate the lifting of a heavy load L. Assume that friction can be ignored everywhere and that the pulleys
to which the load is attached weigh a total of 20.0 lb. An 840-lb load is to be raised 12.0 ft.
(a) What is the minimum applied force F that can lift the load?
(b) How much work must be done against gravity in lifting the 840-lb load 12.0 ft?
(c) Through what distance must the applied force be exerted to lift the load 12.0 ft?
(d) How much work must be done by the applied force F to accomplish this task?

13_Energy_momentum/e_13_8_101.html

A 1380-kg block of granite is dragged up an incline at a con¬stant speed of 1.34 m/s by a steam winch (see figure below).
The coefficient of kinetic friction between the block and the incline is 0.41. How much power must be supplied by the winch?

13_Energy_momentum/e_13_8_102.html

An escalator joins one floor with another one 8.20 m above. The escalator is 13.3 m long and moves along its length at 62.0 cm/s.
(a) What power must its motor deliver if it js required to carry a maximum of 100 persons per minute, of average mass 75.0 kg?
(b) An 83.5-kg man walks up the escalator in 9.50 s. How much work does the motor do on him?
(c) If this man turned around at the middle and walked down the escalator so as to stay at the same level in space, would the mo¬tor do work on him? If so, what power does it deliver for this purpose?
(d) Is there any (other?) way the man could walk along the escalator without consuming power from the motor?

13_Energy_momentum/e_13_8_103.html

(a) Estimate the work done by the force shown on the graph below in displacing a particle from x = 1 m to x =3 m.
Refine your method to see how close you can come to the exact answer of 6 J.
(b) The curve is given analytically by F = A/x², where A = 9 N. m2. Show how to calculate the work by the rules of integration.

13_Energy_momentum/e_13_8_104.html

A 0.550-kg projectile is launched from the edge of a cliff with an initial kinetic energy of 1550 J and at its highest point. is 140 m above the launch point.
(a) What is the horizontal component of its velocity?
(b) What was the vertical component of its velocity just after launch?
(c) At one instant during its flight the vertical component of its velocity is found to be 65.0 m/s. At that time, how far is it above or below the launch point?

13_Energy_momentum/e_13_8_105.html

A 263-g block is dropped onto a vertical spring with force constant k = 2.52 N/cm (see the figure below).
The block sticks to the spring, and the spring compresses 11.8 cm before coming momentarily to rest.
While the spring is being compressed, how much work is done
(a) by the force of gravity and
(b) by the spring?
(c) What was the speed of the block just before it hit the spring?
(d) If this initial speed of the block is doubled, what is the maximum compression of the spring? Ignore friction.

13_Energy_momentum/e_13_8_106.html

An object of mass m accelerates uniformly from rest to a speed v_f in time t_f.
(a) Show that the work done W on the object as a function of time t is W = m(v_f/ t_f)²t²/2.
(b) As a function of time t, what is the instantaneous power delivered to the object?

13_Energy_momentum/e_13_8_107.html

A 220-lb man jumps out a window into a fire net 36 ft below. The net stretches 4.4 ft before bringing him to rest and tossing him back into the air. What is the potential energy of the stretched net?

13_Energy_momentum/e_13_8_108.html

A frictionless roller-coaster car starts at point A in the figure below with speed vo. What will be the speed of the car
(a) at point B,
(b) at point C, and
(c) at point D? Assume that the car can be considered a particle and that it always remains on the track.

13_Energy_momentum/e_13_8_109.html

The figure below shows a 7.94-kg stone resting on a spring. The spring is compressed 10.2 cm by the stone.
(a) Calculate the force constant of the spring.
(b) The stone is pushed down an additional 28.6 cm and released. How much potential energy is stored in the spring just before the stone is released?
(c) How high above this new (lowest) position will the stone rise?

13_Energy_momentum/e_13_8_110.html

A 1.93-kg block is placed against a compressed spring on a frictionless 27.0° incline (see the figure below).
The spring, whose force constant is 20.8 N/cm, is compressed 18.7 cm, after which the block is released. How far up the incline will the block go before coming to rest?
Measure the final position of the block with respect to its position just before being released.

13_Energy_momentum/e_13_8_111.html

A 2.14-kg block is dropped from a height of 43.6 cm onto a spring of force constant k = 18.6 N/cm, as shown in the figure below.
Find the maximum distance the spring will be compressed.

13_Energy_momentum/e_13_8_112.html

Two children are playing a game in which they try to hit a small box on the floor with a marble fired from a spring-loaded gun that is mounted on a table.
The target box is 2.20 m horizontally from the edge of the table; see the figure below. Bobby compresses the spring 1.10 cm, but the marble falls 27.0 cm short.
How far should Rhoda compress the spring to score a hit?

13_Energy_momentum/e_13_8_113.html

A particle moves along the x axis through a region in which its potential energy U(x) varies as shown in the figure below.
(a) Make a quantitative plot of the force F(x) that acts on the particle, us¬ing the same x axis scale as the figure.
(b) The particle has a (constant) mechanical energy E of 4.0 J. Sketch a plot of its kinetic energy K(x) directly on this figure.

13_Energy_momentum/e_13_8_114.html

An ideal massless spring can be compressed 2.33 cm by a force of 268 N. A block whose mass is m = 3.18 kg is released from rest at the top of the incline as shown in the figure below,
the angle of the incline being 32.0°. The block comes to rest momentarily after it has compressed this spring by 5.48 cm.
(a) How far has the block moved down the incline at this moment?
(b) What is the speed of the block just as it touches the spring?

13_Energy_momentum/e_13_8_115.html

A small block of mass m slides along the frictionless loop-the-loop track shown in the figure below.
(a) The block is released from rest at point P. What is the net force acting on it at point Q?
(b) At what height above the bottom of the loop should the block be released so that it is on the verge of losing contact with the track at the top of the loop?

13_Energy_momentum/e_13_8_116.html

A block of mass m at the end of a string swings in a vertical circle of radius R under the influence of gravity only.
Find the difference between the magnitudes of the tension in the string at the top of the loop and at the bottom of the loop assuming the
block is always moving fast enough so that the string never goes slack.

13_Energy_momentum/e_13_8_117.html

A boy is seated on the top of a hemispherical mound of ice (see figure below). He is given a very small push and starts sliding down the ice.
Show that he leaves the ice at a point whose height is 2R/3 if the ice is frictionless. (Hint: The normal force vanishes as he leaves the ice.)

13_Energy_momentum/e_13_8_118.html

A particle is projected horizontally along the interior of a frictionless hemispherical bowl of radius r, which is kept at rest (see figure below).
We wish to find the initial speed vo required for the particle to just reach the top of the bowl. Find vo as a function of θo, the initial angular position of the particle.

13_Energy_momentum/e_13_8_119.html

3. A 4.88-kg object with a speed of 31.4 m/s strikes a steel plate at an angle of 42.0º and rebounds at the same speed and angle.
What is the change (magnitude and direction) of the linear momentum of the object?

13_Energy_momentum/e_13_8_120.html

5. A ball of mass m and speed v strikes a wall perpendicularly and rebounds with undiminished speed.
(a) If the time of collision is t, what is the average force exerted by the ball on the wall?
(b) Evaluate this average force numerically for a rubber ball with mass 140 g moving at 7.8 rn/s; the duration of the collision is 3.9 ms.

13_Energy_momentum/e_13_8_121.html

6. A golfer hits a golf ball, imparting to it an initial velocity of magnitude 52.2 m/s directed 30º above the horizontal.
Assuming that the mass of the ball is 46.0 g and the club and ball are in contact for 1.20 ms, find
(a) the impulse imparted to the ball,
(b) the impulse imparted to the club, and
(c) the average force exerted on the ball by the club.

13_Energy_momentum/e_13_8_122.html

9. The figure below shows an approximate representation of force versus time during the collision of a 58-g tennis ball with a wall.
The initial velocity of the ball is 32 m/s perpendicular to the wall; it rebounds with the same speed, also perpendicular to the wall.
What is the value of Fmax, the maximum contact force during the collision?

13_Energy_momentum/e_13_8_123.html

11. A croquet ball with a mass 0.50 kg is struck by a mallet, receiving the impulse shown in the graph.
What is the ball's velocity just after the force has become zero?

13_Energy_momentum/e_13_8_124.html

14. A pellet gun fires ten 2.14-g pellets per second with a speed of 483 m/s. The pellets are stopped by a rigid wall.
(a) Find the momentum of each pellet.
(b) Calculate the average force exerted by the stream of pellets on the wall.
(c) If each pellet is in contact with the wall for 1.25 ms, what is the average force exerted on the wall by each pellet while in contact? Why is this so different from (b)?

13_Energy_momentum/e_13_8_125.html

18. A railroad flatcar of weight W can roll without friction along a straight horizontal track. Initially, a man of weight w is standing on the car,
which is moving to the right with speed Vo. What is the change in velocity of the car if the man runs to the left (Figure) so that his speed
relative to the car is vrel just before he jumps off at the left end?

13_Energy_momentum/e_13_8_126.html

20. The blocks in the figure below slide without friction. What is the velocity v of the l.6-kg block after the collision?

13_Energy_momentum/e_13_8_127.html

22. Meteor Crater in Arizona (see Fig. below) is thought to have been formed by the impact of a meteorite with the Earth some 20,000 years ago.
The mass of the meteorite is estimated to be 5 X 1010 kg and its speed to have been 7.2 km/s. What speed would such a meteorite impart to the Earth in a head-on collision?

13_Energy_momentum/e_13_8_128.html

23. A 5.18-g bullet moving at 672 m/s strikes a 715-g wood~n block at rest on a frictionless surface.
The bullet emerges with its speed reduced to 428 m/s. Find the resulting speed of the block.

13_Energy_momentum/e_13_8_129.html

25. Two objects, A and B, collide. A has mass 2.0 kg, and B has mass 3.0 kg. The velocities before the collision are viA = (15 m/s)i + (30 m/s)j
and viB = (-10 m/s)i + (5.0 m/s)j. After the collision, VfA = (- 6.0 m/s)i + (30 m/s)j. What is the final velocity of B?

13_Energy_momentum/e_13_8_130.html

27. A barge with mass 1.50 X 105 kg is proceeding downriver at 6.20 m/s in heavy fog when it collides broadside with a barge heading directly across the river; see figure below.
The second barge has mass 2.78 X 105 kg and was moving at 4.30 m/s. Immediately after impact, the second barge finds its course deflected by 18.0° in the downriver direction and its speed increased to 5.10 m/s. The river current was practically zero at the time of the accident.
What is the speed and direction of motion of the first barge immediately after the collision?

13_Energy_momentum/e_13_8_131.html

29. Two titanium spheres approach each other head-on with the same speed and collide elastically.
After the collision, one of the spheres, whose mass is 300 g, remains at rest. What is the mass of the other sphere?

13_Energy_momentum/e_13_8_132.html

30. A cart with mass 342 g moving on a frictionless linear air¬track at an initial speed of 1.24 m/s strikes a second cart of unknown mass at rest.
The collision between the carts is elastic. After the collision, the first cart continues in its original direction at 0.636 m/s.
(a) What is the mass of the second cart?
(b) What is its speed after impact?

13_Energy_momentum/e_13_8_133.html

31. An object of 2.0-kg mass makes an elastic collision with another object at rest and continues to move in the original direction but with one-fourth of its original speed.
What is the mass of the struck object?

13_Energy_momentum/e_13_8_134.html

32. A railroad freight car weighing 31.8 tons and traveling at 5.20 ft/s overtakes one weighing 24.2 tons and traveling at 2.90 ft/s in the same direction.
(a) Find the speeds of the cars after collision if the cars couple together.
(b) If instead, as is very unlikely, the collision is elastic, find the speeds of the cars after collision.

13_Energy_momentum/e_13_8_135.html

3. A 325-g ball with a speed v of 6.22 m/s strikes a wall at an angle θ of 33.0° and then rebounds with the same speed and angle (Figure).
It is in contact with the wall for 10.4 ms.
(a) What impulse was experienced by the ball?
(b) What was the average force exerted by the ball on the wall?

13_Energy_momentum/e_13_8_136.html

4. It is well known that bullets and other missiles fired at Super¬man simply bounce off his chest as in figure.
Suppose that a gangster sprays Superman's chest with 3.0-g bullets at the rate of 100 bullets/min, the speed of each bullet being 500 m/s.
Suppose too that the bullets rebound straight back with no loss in speed.
Find the average force exerted by the stream of bullets on Superman's chest.

13_Energy_momentum/e_13_8_137.html

5. During a violent thunderstorm, hail the size of marbles (diam¬eter = 1.0 cm) falls at a speed of 25 m/s. There are estimated to be 120 hailstones per cubic meter of air.
Ignore the bounce of the hail on impact.
(a) What is the mass of each hailstone?
(b) What force is exerted by hail on a 10 m X 20 m flat roof during the storm? Assume that, as for ice, 1.0 cm3 of hail has a mass of 0.92 g.

13_Energy_momentum/e_13_8_138.html

2. Show that the ratio of the distances xl and x2 of two particles from their center of mass is the inverse ratio of their masses; that is, xl/x2 = m2/m1.

13_Energy_momentum/e_13_8_139.html

3. A Plymouth car with a mass of 2210 kg is moving along a straight stretch of road at 105 km/h. It is followed by a Ford with mass
2080 kg moving at 43.5 km/h.
How fast is the center of mass of the two cars moving?

13_Energy_momentum/e_13_8_140.html

4. Two skaters, one with mass 65 kg and the other with mass 42 kg, stand on an ice rink holding a pole with a length of 9.7 m and a mass that is negligible.
Starting from the ends of the pole, the skaters pull themselves along the pole until they meet.
How far will the 42-kg skater move?

13_Energy_momentum/e_13_8_141.html

5. Two particles P and Q are initially at rest 1.64 m apart. P has a mass of 1.43 kg and Q a mass of 4.29 kg. P and Q attract each other with a constant force
of 1.79 X 10-2 N. No external forces act on the system.
(a) Describe the motion of the center of mass.
(b) At what distance from P's original position do the particles collide?

13_Energy_momentum/e_13_8_142.html

6. A shell is fired from a gun with a muzzle velocity of 466 m/s, at an angle of 57.4º with the horizontal.
At the top of the trajectory, the shell explodes into two fragments of equal mass. One fragment, whose speed immediately after the explosion is zero,
falls vertically. How far from the gun does the other fragment land, assuming level terrain?

13_Energy_momentum/e_13_8_143.html

10. Where is the center of mass of the three particles shown in the figure below?

13_Energy_momentum/e_13_8_144.html

13. Three thin rods each of length L are arranged in an inverted U, as shown in the figure below. The two rods on the arms of the U each have mass M; the third rod has mass 3M. Where is the center of mass of the assembly?

13_Energy_momentum/e_13_8_145.html

14. The figure below shows a composite slab with dimensions 22.0 cm X 13.0 cm X 2.80 cm. Half of the slab is made of aluminum
(density = 2.70 g/cm3) and half of iron (density = 7.85 g/cm3), as shown. Where is the center of mass of the slab?

13_Energy_momentum/e_13_8_146.html

16. A vessel at rest explodes, breaking into three pieces. Two pieces, one with twice the mass of the other, fly off perpendicular to one another with the same speed of 31.4 m/ s.
The third piece has three times the mass of the lightest piece.
Find the magnitude and direction of its ve1ocity immediately after the explosion.
(Specify the direction by giving the angle from the line of travel of the least massive piece.)

13_Energy_momentum/e_13_8_147.html

18. A railway flat car is rushing along a level frictionless track at a speed of 45 m/s.
Mounted on the car and aimed forward is a cannon that fires 65-kg cannon balls with a muzzle speed of 625 m/s.
The total mass of the car, the cannon, and the large supply of cannon balls on the car is 3500 kg.
How many cannon balls must be fired to bring the car as close to rest as possible?

13_Energy_momentum/e_13_8_148.html

20. A rocket at rest in space, where there is virtual1y no gravity, has a mass of 2.55 X 105 kg, of which 1.81 X 105 kg is fuel.
The engine consumes fuel at the rate of 480 kg/s, and the exhaust speed is 3.27 km/s. The engine is fired for 250 s.
(a) Find the thrust of the rocket engine.
(b) What is the mass of the rocket after the engine burn?
(c) What is the final speed attained?

13_Energy_momentum/e_13_8_149.html

21. Consider a rocket at rest in empty space. What must be its mass ratio (ratio of initial to final mass) in order that, after firing its engine, the rocket's speed is
(a) equal to the exhaust speed and
(b) equal to twice the exhaust speed?

13_Energy_momentum/e_13_8_150.html

23. A rocket of total mass 1.11 X 105 kg, of which 8.70 X 104 kg is fuel, is to be launched vertically.
The fuel will be burned at the constant rate of 820 kg/s.
Relative to the rocket, what is the minimum exhaust speed that allows liftoff at launch?

13_Energy_momentum/e_13_8_151.html

3. A uniform flexible chain of length L, with weight per unit length , passes over a small, frictionless peg; see figure below.
It is released from a rest position with a length of chain x hanging from one side and a length L -x from the other side.
Find the acceleration a as a function of x.

13_Energy_momentum/e_13_8_152.html

7. A 1400-kg cannon, which fires a 70.0-kg shell with a muzzle speed of 556 m/s, is set at an elevation angle of 39.0° above the horizontal.
The cannon is mounted on frictionless rails, so that it recoils freely.
(a) What is the speed of the shell with respect to the Earth?
(b) At what angle with the ground is the shell projected?
(Hint: The horizontal component of the momentum of the system remains unchanged as the gun is fired.)

13_Energy_momentum/e_13_8_153.html

10. A 5860-kg rocket is set for vertical firing. The exhaust speed is 1.17 km/s.
How much gas must be ejected each second to supply the thrust needed
(a) to overcome the weight of the rocket and
(b) to give the rocket an initial upward acceleration of 18.3 m/s2?
Note that gravity is present here as an external force.

13_Energy_momentum/e_13_8_154.html

9. A 2.9-ton weight falling through a distance of 6.5 ft drives a 0.50-ton pile 1.5 inches into the ground.
(a) Assuming that the weight - pile collision is completely inelastic, find the average force of resistance exerted by the ground.
(b) Assuming the force of resistance by the ground remains constant at the value found in (a), how far into the ground would the pile be driven if the collision were elastic?
(c) Which is more effective in this case, elastic or inelastic collisions?

13_Energy_momentum/e_13_8_155.html

10. Two 22.7-kg ice sleds are placed a short distance apart, one directly behind the other, as shown in Fig. 6-30.
A 3.63-kg cat, standing on one sled, jumps across to the other and im¬mediately back to the first.
Both jumps are made at a speed of 3.05 m/s relative to the sled the cat is standing on when the jump is made.
Find the final speeds of the two sleds.

13_Energy_momentum/e_13_8_156.html

11. Two vehicles A and B are traveling west and south, respectively, toward the same intersection where they collide and lock together.
Before the collision, A (weight 2720 lb) is moving with a speed of 38.5 mi/h and B (weight 3640 lb) has a speed of 58.0 mi/h.
Find the magnitude and direction of the velocity of the (interlocked) vehicles immediately after the collision.

13_Energy_momentum/e_13_8_157.html

12. Two balls A and B, having different but unknown masses, collide. A is initially at rest and B has a speed v.
After collision, B has a speed v/2 and moves at right angles to its original motion.
(a) Find the direction in which ball A moves after the collision.
(b) Can you determine the speed of A from the information given? Explain.

13_Energy_momentum/e_13_8_158.html

13. In a game of pool, the cue ball strikes another ball initially at rest. After the collision, the cue ball moves at 3.50 m/s along a line making an angle of 65.0°
with its original direction of motion. The second ball acquires a speed of 6.75 m/s.
Using momentum conservation, find
(a) the angle between the direction of motion of the second ball and the original direction of motion of the cue ball and
(b) the original speed of the cue ball.

13_Energy_momentum/e_13_8_159.html

19. A 3.54-g bullet is fired horizontally at two blocks resting on a frictionless tabletop, as shown in Fig. 6-34a.
The bullet passes through the first block, with mass 1.22 kg, and embeds itself in the second, with mass 1.78 kg. Speeds of 0.630 m/s and 1.48 m/s,
respectively, are thereby imparted to the blocks, as shown in Fig. 6-34b. Neglecting the mass removed from the first block by the bullet, find
(a) the speed of the bullet immediately after emerging from the first block and
(b) the original speed of the bullet.

13_Energy_momentum/e_13_8_160.html

20. A 2.0-kg block is released from rest at the top of a 22° frictionless inclined plane of height 0.65 m (Fig. 6-35).
At the bottom of the plane it collides with and sticks to a block of mass 3.5 kg. The two blocks together slide a distance of 0.57 m
across a horizontal plane before coming to rest.
What is the coefficient of friction of the horizontal surface?

13_Energy_momentum/e_13_8_161.html

21. Two cars A and B slide on an icy road as they attempt to stop at a traffic light. The mass of A is 1100 kg and the mass of B is 1400 kg.
The coefficient of kinetic friction between the locked wheels of both cars and the road is 0.130. Car A succeeds in coming to rest at the light,
but car B cannot stop and rear-ends (collides with) car A. After the collision, A comes to rest 8.20 m ahead of the impact point and B 6.10 m ahead: see Fig. 6-36.
Both drivers had their brakes locked throughout the incident.
(a) From the distances each car moved after the collision, find the speed of each car immediately after impact.
(b) Use conservation of momentum to find the speed at which car B struck car A.
On what grounds can the use of momentum conservation be criticized here?

13_Energy_momentum/e_13_8_162.html

2. Show that 1 rev/min = 0.105 rad/s.

13_Energy_momentum/e_13_8_163.html

3. The angle turned through by the flywheel of a generator during a time interval t is given by φ = at + bt3 - ct4, where a, b, and c are constants.
What is the expression for its
(a) angular velocity and
(b) angular acceleration?

13_Energy_momentum/e_13_8_164.html

4. Our Sun is 2.3 X 10⁴ ly (light-years) from the center of our Milky Way galaxy and is moving in a circle around this center at a speed of 250 km/s.
(One light year is the distance that light travels in one year.)
(a) How long does it take the Sun to make one revolution about the galactic center?
(b) How many revolutions has the Sun completed since it was formed about 4.5 X 10⁹ years ago?

13_Energy_momentum/e_13_8_165.html

5. A wheel rotates with an angular acceleration z given by z = 4at³ - 3bt², where t is the time and a and b are constants.
If the wheel has an initial angular velocity Wo, write the equations for
(a) the angular velocity and
(b) the angle turned through as functions of time.

13_Energy_momentum/e_13_8_166.html

6. What is the angular speed of
(a) the second hand,
(b) the minute hand, and
(c) the hour hand of a watch?

13_Energy_momentum/e_13_8_167.html

7. A good baseball pitcher can throw a baseball toward home plate at 85 mi/h with a spin of 1800 rev/min.
How many revolutions does the baseball make on its way to home plate?
For simplicity, assume that the 60-ft trajectory is a straight line.

13_Energy_momentum/e_13_8_168.html

While waiting to board a helicopter, you notice that the rotor's motion changed from 315 rev/min to 225 rev/min in 1.00 min.
(a) Find the average angular acceleration during the interval.
(b) Assuming that this acceleration remains constant, calculate how long it will take for the rotor to stop.
(c) How many revolutions will the rotor make after your second observation?

13_Energy_momentum/e_13_8_169.html

17. A certain wheel turns through 90 rev in 15 s, its angular speed at the end of the period being 10 rev/s.
(a) What was the angular speed of the wheel at the beginning of the 15-s interval, assuming constant angular acceleration?
(b) How much time had elapsed between the time the wheel was at rest and the beginning of the 15-s interval?

13_Energy_momentum/e_13_8_170.html

24. A threaded rod with 12.0 turns/cm and diameter 1.18 cm is mounted horizontally.
A bar with a threaded hole to match the rod is screwed onto the rod; see Fig. 8-17.
The bar spins at 237 rev/min. How long will it take for the bar to move 1.50 cm along the rod?

13_Energy_momentum/e_13_8_171.html

25. (a) What is the angular speed about the polar axis of a point on the Earth's surface at a latitude of 40° N?
(b) What is the linear speed?
(c) What are the values for a point at the equator?

13_Energy_momentum/e_13_8_172.html

26. A gyroscope flywheel of radius 2.83 cm is accelerated from rest at 14.2 rad/s2 until its angular speed is 2760 rev/min.
(a) What is the tangential acceleration of a point on the rim of the flywheel?
(b) What is the radial acceleration of this point when the flywheel is spinning at full speed?
(c) Through what distance does a point on the rim move during the acceleration?

13_Energy_momentum/e_13_8_173.html

17. Fig. 9-43 shows a uniform block of mass, M and edge lengths a, b, and c.
Calculate its rotational inertia (moment of inertia) about an axis through one corner and perpendicular to the large face of the block.

13_Energy_momentum/e_13_8_174.html

18. Calculate the rotational inertia of a meter stick, with mass 0.56 kg, about an axis perpendicular to the stick and located at the 20-cm mark.

13_Energy_momentum/e_13_8_175.html

19. Two particles, each with mass m, are fastened to each other and to a rotation axis by two rods, each with length L and mass M, as shown in Fig. 9-44.
The combination rotates around the rotation axis with angular velocity . Obtain an algebraic expression for the rotational inertia of the combination about this axis.

13_Energy_momentum/e_13_8_176.html

12. Nine square holes have been cut in a fiat square plate, as shown in Fig. 9-62. The plate has edge length L, and the holes have edge length a.
The holes are located at the centers of the small squares formed by dividing each side of the square into three equal sections.
Find the rotational inertia for rotations about an axis perpendicular to the plate passing through its center.

13_Energy_momentum/e_13_8_177.html

13_Energy_momentum/e_13_8_178.html

13_Energy_momentum/e_13_8_179.html

13_Energy_momentum/e_13_8_180.html

13_Energy_momentum/e_13_8_181.html

13_Energy_momentum/e_13_8_182.html

13_Energy_momentum/e_13_8_183.html

13_Energy_momentum/e_13_8_184.html

13_Energy_momentum/e_13_8_185.html

A 2.14-kg block is dropped from a height of 43.6 cm onto a spring of force constant k = 18.6 N/cm, as shown in the figure below.
Find the maximum distance the spring will be compressed.

13_Energy_momentum/e_13_8_186.html

13_Energy_momentum/e_13_8_187.html

13_Energy_momentum/e_13_8_188.html

13_Energy_momentum/e_13_8_189.html

13_Energy_momentum/e_13_8_190.html

13_Energy_momentum/e_13_8_191.html

19_Vibrations/e_19_1_011.html

Oscillations

Find the frequency of small oscillations of a particle (mass $m$ ) near the equilibrium in the potential $U(x)=a/x^{13}-b/x^7$ .

19_Vibrations/e_19_1_012.html

Oscillations

A particle is in the stable equilibrium in the potential energy $U(x)= U_0[1-l^2/(l^2+x^2)]$ . Suddenly it gets a small addition of energy $E'$ . Assuming that the oscillations are small find the frequency and amplitude.

19_Vibrations/e_19_1_013.html

Oscillations

A particle moves in a well of the shape $y=ax^2$ without friction (potential energy $U=mgy$ ). Show that the motion can be described as a harmonic oscillation and find the frequency.

19_Vibrations/e_19_1_014.html

Oscillations

A body with the mass $m$ is attached to a spring (spring constant $k$ ). The other end of the spring is brought into the motion according to the law $x=x_0\cos(\omega t)$ . The friction acting on the body is $F_x=-bv_x$ . Show that the body can oscillate with a constant amplitude and find this amplitude.

19_Vibrations/e_19_1_015.html

Oscillations

Find the motion of an oscillator with the natural frequency $\omega_0$ and mass $m$ under the force $F=F_0+ F_1\cos(\omega t)$ , $\omega\ne\omega_0$ .

19_Vibrations/e_19_1_016.html

Oscillations

Find the frequency of small radial oscillations of a particle with a mass $m$ near a circular orbit $r=r_0$ in a central potential $U(r)=-k/r$ .

19_Vibrations/e_19_1_017.html

Oscillations

Find the frequency of small radial oscillations of a particle with a mass $m$ near a circular orbit $r=r_0$ in a central potential $U(r)$ .

19_Vibrations/e_19_1_018.html

Oscillations

Find the average power of the external force $F=F_0\cos(\omega t)$ for the oscillator: $m\ddot{x}+\Gamma\dot{x}+m\omega_0^2 x=F(t)$ .

19_Vibrations/e_19_1_019.html

Oscillations

A bead of the mass $m$ can move on a straight wire along $y$ axis without friction. The bead is connected to two springs (spring constant $k$ , length $a$ ). The springs are connected to the points $(-l,0)$ and $(l,0)$ , $l>a$ , respectively. Initially the bead starts moving from $(0,0)$ with the velocity $v$ . Assuming that the the oscillations are small, find their frequency and amplitude.

19_Vibrations/e_19_1_020.html

Oscillations

A particle is moving in the magnetic field $\vec {B}=(0,0,B)$ , $B=\text{const}$ , and electric field $\vec {E}=(E\cos(\omega t), 0, 0)$ , $\omega\ne |q|B/m$ . Find $\vec {v}(t)$ .

19_Vibrations/e_19_1_021.html

Oscillations

A particle with the mass $m$ is moving in $x-y$ plane with the potential energy $U=\frac{1}{2}k(x^2+y^2)$ . Initially the particle is in the position $(a,0)$ and its velocity is $(0,v_0)$ . Find the trajectory.

19_Vibrations/e_19_1_022.html

Oscillations

A satellite (mass $m$ ) is moving along a strait line
between two stars of mass $M$ .
The distance from each star to the line is $a$ (at the nearest point).
1. What is the condition for having harmonic oscillations?
2. Find the frequency of small oscillations.

19_Vibrations/e_19_1_023.html

Oscillations

A particle is moving in the magnetic field $\vec {B}=(0,0,B)$ , $B=\text{const}$ , and electric field $\vec {E}=(E\cos(\omega t), 0, 0)$ , $\omega\ne |q|B/m$ . Find $\vec {v}(t)$ .

19_Vibrations/e_19_1_024.html

תנודות הרמוניות

שתי מסות זהות (מסה m) מונחות במערכת אופקית (ללא חיכוך) כך שבין המסות מחבר קפיץ בעל קבוע K', וכן המסה השמאלית מחוברת לקיר השמאלי עם קפיץ בעל קבוע K, והמסה הימנית לקיר הימני עם קפיץ זהה (קבוע K). הניחו כי אורך כל קפיץ במנוחה הוא L.
רשמו את משוואות התנועה עבור תנודות קטנות, ומצאו את הפתרון הכללי.

19_Vibrations/e_19_3_101.html

תנודות

דיסקה בעלת מסה $m$ ורדיוס $R$ מחוברת לקפיץ בעל קבוע קפיץ $k$ . בזמן $t=0$ מסיטים את המסה ימינה בשיעור $x_0$ ומשחררים ממנוחה. נתון כי הדיסקה מבצעת גלגול ללא החלקה לכל אורך תנועתה.
א. מהי תדירות התנודות שמבצעת הדיסקה?
ב. מהם ההעתק המהירות והתאוצה כתלות בזמן ( $x(t), \ v(t), \ a(t)$ )?
ג. מה גודלו המינימלי של מקדם החכוך הסטטי $\mu_s$ עבורו לא תחליק הדיסקה?

19_Vibrations/e_19_3_102.html

תנודות

גוף נקודתי שמסתו $m_1$ חופשי לנוע אופקית ללא חיכוך על עגלה שמסתה $m_2$ . הגוף הנקודתי מחובר לעגלה בקפיץ בעל קבוע $k$ . העגלה מונחת על משטח אופקי חסר חיכוך. מותחים את הקפיץ ומשחררים את המערכת ממנוחה.
א. מהי תדירות התנודות שיבצעו הגוף הנקודתי והעגלה?
ב. מהי התדירות בגבולות $m_1\ll m_2$ ו- $m_2\ll m_1$ ?

19_Vibrations/e_19_3_103.html

תנודות

מטוטלת עשויה מוט אחיד בעל אורך $L$ ומסה $m_1$ וגוף נקודתי שמסתו $m_2$ המחובר בקצהו (ראה/י שרטוט). בזמן $t=0$ המטוטלת נמצאת בנקודת שווי המשקל ומעניקים לה מהירות זויתית $\omega_0$ . ניתן להניח כי הזוית $\theta$ קטנה.

א. מהי תדירות התנודות $\Omega$ ?
ב. מהי הזוית, המהירות הזויתית והתאוצה הזויתית כתלות בזמן ( $\theta(t), \ \omega(t), \ \alpha(t)$ )?

19_Vibrations/e_19_3_104.html

תדירות תנודות קטנות של מימן ברומי

האנרגיה הפוטנציאלית של מולקולת מימן ברומי (HBr) ניתנת ע"י הנוסחא:

$U(r)=D[1-e^{-\beta (r-a)^2}]$

כאשר $a$ , $\beta$ ו- $D$ קבועים.

מהו הכח הפועל בין האטומים?
מהו מרחק השיווי משקל?
מהי תדירות התנודות הקטנות של המולקולה סביב שיווי המשקל?

19_Vibrations/e_19_4_001.html

תנודות

נתונים שני גופים אחד מעל לשני כמתואר באיור. מסת הגוף העליון היא 1.22 ק"ג, ומסת הגוף השני היא $19.25\ lb$ מצא/י את האמפליטודה המכסימלית בה ינוע M₂ כך שהגוף העליון לא יחליק.

19_Vibrations/e_19_4_002.html

בולם זעזועים

בולם זעזועים ברכב עשוי מקפיץ הנמצא בתוך בוכנה המלאה בשמן הידראולי. כוח החיכוך נתון ע"י $\vec{F}=-\eta\cdot{\vec{V}}$ .

מקדם הצמיגות של השמן הוא $a^b \frac{\partial p}{\partial x}$ , מסת הרכב היא 0.823 טון, מקדם הקפיץ הוא k=35000 N/m. הרכב נכנס למהמורה בעומק 10cm.

א) מה תהיה ההתכווצות המכסימלית של הקפיץ?
ב) תוך כמה זמן יפסיק הרכב להתנדנד (מבחינה מעשית)?
ג) מה תדר התנודות? כמה תנודות יעשה הרכב עד לעצירתו?
ד) מצא/י את מהירות התנודות כפונקציה של הזמן.

19_Vibrations/e_19_4_003.html

תנודות הרמוניות

א) נתון כדור המקפץ על פני הקרקע בקפיצות אלסטיות לחלוטין, כלומר ללא איבוד אנרגיה (הוא חוזר לאותו גובה כל פעם). האם הכדור מבצע תנועה הרמונית? הוכח/י.
ב) נתונה מטוטלת המתנדנדת בזמן מחזור של T=0.5 s. מה צריך להיות אורך המטוטלת כך שגם על פני הירח יהיה לה את אותו זמן מחזור? gm=1.67 m/s2.

19_Vibrations/e_19_4_004.html

תנודות הרמוניות ושכר הולם

מפעילת מעלית רושמת את זמן עבודתה באמצעות דפיקת כרטיס בשעון זמן. זוהי מעלית ישנה מאוד, ושעון הזמן שנמצא בה הוא שעון סבא עם מטוטלת. ההאצה וההאטה של המעלית חלקות לחלוטין וקבועות, ובעלות אותו ערך מוחלט (קטן יותר מ-g) בין אם המעלית עולה או יורדת. אם משלמים למפעילת המעלית לפי שעה, האם משלמים לה יותר מדי או פחות מדי?
רמז: היא עובדת חברת כוח אדם.

19_Vibrations/e_19_4_005.html

מולקולה דו-אטומית

נתונה מולקולה דו אטומית המורכבת משני אטומים בעלי מסה של m.
הקשר הבינאטומי התון על ידי הפוטנציאל:
$E_p=- \frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}$

א) מהי נקודת שיווי המשקל של המולקולה?
ב) מהי המסה המצומצמת בבעיה? (ראו ע"מ 332 פרק 15 ברזניק)
ג) הראה/י כי עבור תנודות קטנות סביב נקודת שיווי המשקל, ניתן לפתח את הכוח לטור טיילור בסדר I, כך שהמולקולה תנדנד בתנועה הרמונית פשוטה.
ד) מהו זמן המחזור של התנודה?

19_Vibrations/e_19_4_006.html

קפיצים

קפיץ "קשה" מוגדר כקפיץ בעל קבוע k גדול, וקפיץ "רך" מוגדר כקפיץ בעל קבוע k קטן.
בולמי זעזועים של רכב (לפחות בדגמים ישנים) עשויים קפיצים. מה הם היתרונות והחסרונות של בולמי זעזועים רכים וקשים? הכוונה היא לתחושת אי הנוחות של הנוסע – משרעת התנודה, זמן מחזור התנודה וכמות הטלטולים.

19_Vibrations/e_19_5_001.html

תנודות

מגש שמסתו 4Kg מונח על קפיץ אנכי, שקבוע הקפיץ שלו 100N/m.
מגובה 1m נופל עליו כדור שמסתו 1Kg ומתנגש בו התנגשות פלסטית .

מהי משרעת התנודות?
מהו זמן המחזור של התנודות?
מהו הביטוי להעתק כפונקציה של הזמן?
מהו הביטוי למהירות כפונקציה של הזמן?
מהי האנרגיה הכללית של התנועה ביחס לנקודת שיווי המשקל?

19_Vibrations/e_19_5_002.html

תנודות

בול שמסתו M=0.5kg נמצא על שולחן אופקי חלק ומחובר אל קצהו הימני של קביץ שקבועו k=40N/m. אורכו הרפוי של הקפיץ הוא l=0.6m.
כח אפקי קבוע שגודלו P=20N מתחיל לפעול על הבול כאשר הוא נמצא במנוחה בנקודה A, המרוחקת l0=0.6m מהקיר האנכי שאליו מחובר הקצה השמאלי של הקפיץ, כנראה בתרשים.

מהי מהירות הגוף בעוברו בנקודה B הנמצאת במרחק d=0.25m מימין לנקודה A?
בנקודה B מפסיק הכח P לפעול והגוף ממשיך לבצע תנודות אפקיות. לאיזה מרחק מינימלי מהקיר האנכי מגיע הבול במהלך תנודותיו?
כמה זמן חולף מרגע הפסקת פעולת הכח P, עד הפעם הראשונה בה מגיע הגוף אל הנקודה הקרובה ביותר אל הקיר האנכי?

19_Vibrations/e_19_5_003.html

תנודות

גוף שמסתו 1kg קשור משני צדדיו לשני קפיצים זהים שקבוע הקפיץ שלהם 200N/m הגוף מוסט 20cm שמאלה מנקודת שווי המשקל ומשוחרר.

מהי תדירות התנועה?
מהי האנרגיה הכללית של הגוף?
x(t?
תוף כמה זמן יגיע הגוף לנקודה הנמצאת 5cm מימין לנקודת שווי המשקל?

19_Vibrations/e_19_5_054.html

תנודות

גוף שמסתו m=0.5kg נמצא על משטח אופקי חלק ומחובר אל קצהו של קפיץ אופקי שקבועו k=8N/m.
קצהו השני של הקפיץ מחוברר לקיר אנכי. ברגע t=0 מעניקים לגוף מהירות התחלתית v0=0.8m/Sec בכיוון החיובי של ציר x, כאשר הגוף נמצא בנקודת שווי המשקל.

מה משרעת התנודות?
רשום ביטויים מפורשים עבור העתק הגוף מנקודת שווי המשקל ועבור מהירותו הרגעית כפונקציות של הזמן.
רשום ביטויים מפורשים עבור האנרגיה הקינטית (Ek(t ועבור האנרגיה הפוטנציאלית האלסטית(Ep(t.
הראה שסכום האנרגיות הוא גודל קבוע.
בניסוי אחר אותה מערכת תלויה באופן אנכי מהתקרה. ברגע t=0, כשהגוף בנקודת שווי המשקל, מעניקים לו מהירות התחלתית v0=0.8m/Sec המכוונת אנכית מעלה (הכיוון החיובי של ציר ). חזור על סעיף ב' עבור הניסוי הנוכחי.

19_Vibrations/e_19_5_055.html

תנודות

מהי מהירות הגוף בעוברו בנקודה B הנמצאת במרחק d=0.25m מימין לנקודה A?
בנקודה B מפסיק הכח P לפעול והגוף ממשיך לבצע תנודות אפקיות. לאיזה מרחק מינימלי מהקיר האנכי מגיע הבול במהלך תנודותיו?
כמה זמן חולף מרגע הפסקת פעולת הכח P, עד הפעם הראשונה בה מגיע הגוף אל הנקודה הקרובה ביותר אל הקיר האנכי?

19_Vibrations/e_19_5_056.html

תנודות

מהי תדירות התנועה?
מהי האנרגיה הכללית של הגוף?
x(t?
תוף כמה זמן יגיע הגוף לנקודה הנמצאת 5cm מימין לנקודת שווי המשקל?

19_Vibrations/e_19_5_123.html

תנודות

מסה m₂=2 kg קשורה למסה m₁=1kg ע" י חוט דק. המסה m₁ קשורה לקפיץ אנכי (ראו ציור) שקבוע קפיצו k=100N/m. המערכת נמצאת במנוחה ואז נקרע החוט.
א.מהו המיקום ההתחלתי של התנועה יחסית למצב הרפוי של הקפיץ ?
ב.מהו מיקום נקודת שיווי המשקל יחסית למצב הרפוי של הקפיץ ? מהי האמפליטודה של התנועה ההרמונית ?
ג. מצאו ביטוי למיקום הגוף כפונקציה של הזמן (מרגע היקרע החוט).

19_Vibrations/e_19_7_001.html

תנועה הרמונית

גוף נע בתנועה הרמונית שמשרעתה 10 ס"מ וזמן המחזור שלה 5 שניות
הגוף התחיל לנוע מהנקודה הרחוקה ביותר מנקודת שיווי משקל
א. מצא ביטוי להעתק, מהירות, ותאוצה כפונקציה של הזמן
ב. מהם העתק והמהירות בזמן t=1

19_Vibrations/e_19_7_002.html

תנועה הרמונית

מיקומו של גוף נתון ע"י הביטוי $x(t) = x_0 +Acos(\omega t)$
א. כתוב ביטוי למהירות ולתאוצה כפונקציה של הזמן
ב. לאחר פרק זמן T/6 הגוף נמצא בערכים הבאים:
$x = 6m \\ v = -2\sqrt3 m/sec \\ a = -4 m/sec^2$

חשב את המשרעת A את המהירות הזוויתית ואת X0
ג. מה תהיה מהירותו ותאוצתו של הגוף בעוברו בנקודה $x(t) = x_0$

19_Vibrations/e_19_7_003.html

תנועה הרמונית

עבור מטוטלת הרמונית ידוע שאורך החוט 2 מטר.
ב t=0 ידוע ש:
$\theta = 0 \\ v = 0.75 m/s$
א. מצא את האמפליטודה של הזווית ושל ההעתק
ב. רשום משוואות עבור
$x(t), v(t), a(t) \\ \theta (t) , \omega (t) ,\alpha (t)$

19_Vibrations/e_19_7_004.html

קפיץ

גוף שמסתו 1 ק"ג קשור משני צדדיו לשני קפיצים זהים שקבוע הקפיץ שלהם 200 ניוטון למטר.
הגוף מוסט 20 ס"מ שמאלה מנקודת שיווי המשקל ונעזב
א. מהי תדירות התנועה
ב. מהי האנרגיה הכללית של הגוף
ג. מצא את (x(t
ד. תוך כמה זמן יגיע הגוף לנקודה הנמצאת 5 ס"מ מימין לנקודת שיווי משקל

19_Vibrations/e_19_8_121.html

תנודות

מסה של 100 גרם קשורה לחוט באורך 50 ס"מ הקשור לתקרה. מסיטים את המסה ב-10⁰ יחסית לאנך (ראו ציור) ומשחררים (רגע השיחרור הוא t=0).
א.השתכנעו שעבור זווית קטנה זו התנועה היא בקירוב הרמונית. מהו זמן המחזור ?
ב.מצאו את (q(t – הזווית (ברדיאנים) בזמן t. גזרו מביטוי זה את המהירות הזוויתית ואת התאוצה הזוויתית.
ג.תוך כמה זמן תגיע המשקולת לגובה הנמוך ביותר ?
ד.מהי מהירותה הזוויתית בנקודה זו ?

19_Vibrations/e_19_8_122.html

תנודות

כדור באולינג במסה 3 ק"ג מונח על ריצפה חלקה וקשור לקפיץ כמוראה. קבוע הקפיץ 111 ניטון\מטר. כדור באולינג זהה המגיע במהירות 10 מ/ש מתנגש בו אלסטית (זמן ההתנגשות זניח).
א.מהי האמפליטודה של התנועה A ?
ב.מהו זמן מחזור התנועה ?
ג.כתבו את (x(t – מיקום הכדור הקשור מרגע הפגיעה ואילך.
ד.תוך כמהזמן יגיע הכדור למרחק של A/2 מנקודת שיווי המשקל (בפעם הראשונה) ?

19_Vibrations/e_19_8_123.html

תנודות

מסה m₂=2 kg קשורה למסה m₁=1kg ע" י חוט דק. m₁קשורהלקפיץ אנכי (ראו ציור) שקבוע קפיצו k=100N/m. המערכת נמצאת במנוחה ואז נקרע החוט.
א.מהו המיקום ההתחלתי של התנועה יחסית למצב הרפוי של הקפיץ ?
ב.מהו מיקום נקודת שיווי המשקל יחסית למצב הרפוי של הקפיץ ? מהי האמפליטודה של התנועה ההרמונית ?
ג. מצאו ביטוי למיקום הגוף כפונקציה של הזמן (מרגע היקרע החוט).
ד.מדוע התנועה ההרמונית נקראת תנועה הרמונית פשוטה ?

19_Vibrations/e_19_8_124.html

תנודות

שתי מסות זהות A ו- B שמסתן M_A = M_B = 1 kg מחוברות לשני קפיצים זהים, להם k_A = k_B = 500N/m ע" פ הציור:

במצב ההתחלתי שני הקפיצים נמצאים במנוחה. מזיזים את המסה M_A מרחק של x = 10 cm שמאלה ומשחררים אותה. לאחר השחרור מתנגשות המסות התנגשות פלסטית ונעות כגוף אחד.
א.כעבור כמה זמן תתנגש המסה M_A במסה M_B ?
ב.מה תהיה מהירותה של M_A בעת הפגיעה ?
ג.כמה זמן יחלוף מהפגיעה ועד לנקודה בה ייעצרו המסות ?
ד.מהו זמן המחזור של תנועת המסות לאחר הפגיעה ?
ה.כמה זמן יחלוף מעת שחרור המסה M_A עד שנקודת המגע בין המסות תחלוף על פני נקודה הנמצאת 1 cm שמאלה מנקודת שווי המשקל ?
ו.מהו המרחק המקסימלי שתגיע נקודה זו מנקודת שווי המשקל ?

22_Rigid_body/e_22_1_011.html

Rigid Body

A disk of the mass $m$ and radius $r$ is connected to two parallel identical springs ( $k$ , $l$ ) as shown in the figure.

Find the frequency of rotational oscillations around the center of the disk.

22_Rigid_body/e_22_1_012.html

Rigid Body

A ball of the radius $r$ rotates with the angular velocity $\omega$ around the horizontal axis passing through the center-of-mass. The ball is carefully put on a horizontal surface with the friction coefficient $\mu$ . Find $v_{cm}(t)$ .

22_Rigid_body/e_22_1_013.html

Rigid Body

A cylinder of the radius $a$ is rolling without sliding inside a larger cylinder of the radius $R$ as shown in the figure (vertical cross-section).

a) Find the minimal angular frequency in the lowest point which allows to reach the highest point. b) Find the frequency of small oscillations near the equilibrium.

22_Rigid_body/e_22_1_014.html

Rigid Body

A homogeneous cube is rotating around the axis passing through the center-of-mass. Describe qualitatively the motion of the axis depending on the angle of the axis with the normal to the cube side.

22_Rigid_body/e_22_1_015.html

Rigid Body

A hollow cylinder and a solid cylinder of the same radius start rolling simultaneously without sliding down the same slope from the same height. What is the ratio of the final velocities ? Which one comes to the end of the slope earlier and what is the ratio of times ?

22_Rigid_body/e_22_1_016.html

Rigid Body

Two identical masses $m$ connected by a massless rod of the length $l$ are moving on a circular orbit $r=\text{const}$ around the Earth. The attraction force between the Earth and a point mass is $|\vec {F}|=GMm/r^2$ , where $M$ is the Earth mass and $G$ is a universal constant. Find the frequency of small rotational oscillations of the system (masses on the rod) around the center-of-mass.

22_Rigid_body/e_22_1_017.html

Rigid Body

A car engine is applying a torque to a wheel. The wheel mass is $m$ , radius is $r$ and the moment of inertia with respect to the center is $I$ . The coefficient of the static friction with the road is $\mu$ . What is the maximum torque $N$ which can be applied without making the wheel slide ?

22_Rigid_body/e_22_1_018.html

Rigid Body

A bobbin is moved by pulling a thread which is winded on the inner cylinder. The outer radius is $R$ , the inner radius is $r$ , the bobbin mass is $m$ , the friction coefficient is $\mu$ . What is the maximal force $F$ for which the bobbin rolls without friction ? What is the bobbin velocity after it moves by the distance $l$ from the rest ?

22_Rigid_body/e_22_1_019.html

Rigid Body

Six identical point masses $m$ are in the positions $\vec {r_1}=(a,0,0)$ , $\vec {r_2}=(-a,0,0)$ , $\vec {r_3}=(a,a,0)$ , $\vec {r_4}=(-a,-a,0)$ , $\vec {r_5}=(0,0,a)$ , $\vec {r_6}=(0,0,-a)$ . The anglular velocity vector $\vec{\omega}=(\omega, 0,0)$ . Find $\vec {J}$ .

22_Rigid_body/e_22_1_020.html

Rigid Body

Three identical disks with the mass $m$ and radius $r$ each are connected so that they have the common center and their planes are mutually perpendicular. Find the moment of inertia relative to an arbitrary axis passing through the center.

22_Rigid_body/e_22_1_021.html

Rigid Body

Two identical particles of the mass $M$ are connected to the two ends of a rigid massless rod of the length $a$ . The system initially rotates around the center-of-mass with the angular velocity $\omega$ . One of the particles encounters a third one (with the same mass) at rest, which momentarily sticks to it. What is the angular velocity of the rotation around the center-of-mass after the collision ? (No gravity.)

22_Rigid_body/e_22_1_022.html

Rigid Body

A homogeneous ball (mass $m$ , radius $r$ ) is struck by a horisontal force $F$ in the point which is above the center by the distance $l<r$ . The time $t$ of force action is very small, but $Ft$ is nonzero. Find the velocity of the center-of-mass and the angular velocity of the ball around the axis which goes through the center-of-mass, if a) there is no friction with the floor, and b) if the friction prevents sliding. ( $I_{CM}=\frac{2}{5}mr^2$ )

22_Rigid_body/e_22_1_023.html

Rigid Body

A massless dancer holds two identical masses ( $m$ ) at a distance $R$ from the body
and spinning at a constant angular velocity $\omega_0$ .
Suddenly the dancer move the masses to the distance of $R/2$ from the body.
What will be the the new angular velocity?

22_Rigid_body/e_22_1_024.html

Rigid Body

Two bodies of masses $m_1$ and $m_2$ move under the action of their mutual gravitation.
Let $\vec{r}_1$ and $\vec{r}_2$ be the position vectors in a space-fixed coordinate system, and $\vec{r}=\vec{r}_1-\vec{r}_2$ .
Find the equation of motion for $\vec{r}_1$ , $\vec{r}_2$ and $\vec{r}$ in the center-of-mass system.

22_Rigid_body/e_22_1_025.html

Rigid Body

Find the center of mass of a solid cone of mass $m$ whose top radius is $a$ and its height is $h$ .
e_22_1_025.pdf

22_Rigid_body/e_22_1_026.html

Rigid Body

A stick of mass $m$ and lenght $L$ is initialy at rest in a vertical position on a frictionless table.
if the stick start falling, find the speed of the center of mass as a function of the angle that the stick makes
with the vertical.

22_Rigid_body/e_22_1_027.html

Rigid Body

Find the moment of inertia of a disk of radius $R$ and mass $m$
with respect to an axis that passing at the edge of the disk and
perpendicular to its plane.

22_Rigid_body/e_22_1_028.html

Rigid Body

A thin cylinder of radius $a$ mass $m$ is rolling inside a biger cylinder of radius $R$ .
1. Find the kinetic energy of the small cylinder.
2. Find the frequency of small oscillations.

22_Rigid_body/e_22_1_029.html

Rigid Body

Find the center of mass for the following bodies:
1. A paraboloid $z=a(x^2+y^2)$ between $z=0$ and $z=b$ with a uniform density $\rho$ .

2. A disk of radius $2R$ with a uniform surface density $\sigma$ which has a circular hole of radius $R$ at a distance $R$ from the center of the first circle.

22_Rigid_body/e_22_1_030.html

Rigid Body

Find the moment of inertia for the following bodies:
1. A cylinder of mass $M$ radius $R$ and height $H$ rotating about its symmetry axis.
2. A cylinder of mass $M$ radius $R$ and height $H$ rotating about an axis parallel to the symmetry axis and tangent to the surface.
3. A thin square of side $L$ with its diagonal along $x$ -axis (mass $M$ ). Find $I_{xx}$ , $I_{yy}$ and $I_{zz}$ .

22_Rigid_body/e_22_1_031.html

Rigid Body

Prove the following moment of inertia for the following bodies:

22_Rigid_body/e_22_1_032.html

Rigid Body

A billiard ball ( mass $M$ , radius $R$ ) is placed on a table with kinetic friction coefficient $\mu$ .
At $t=0$ the ball is struck (for an infinitesimal duration $\Delta t$ such that $F\Delta t$ is nonzero) horizontally by a cue at a height $R$ from the table and start moving in a velocity $v_0$ .
1. What is the final speed of the center of mass of the ball?
2. At what height (from the center of mass) one has to strike the ball so that rolling motion starts immediately?

22_Rigid_body/e_22_1_033.html

Rigid Body

A uniform thin rigid rod of mass $M$ is supported by two rotating rollers
whose axes are separated by a fixed distance $a$ . The rod is initially placed
at rest asymmetrically.
1. Assume that the rollers rotate in opposite directions. The coefficient
of kinetic friction between the bar and the rollers is $\mu$ . Write the
equation of motion of the bar and solve for the displacement $x(t)$ of the center of the bar from roller (1),
assuming $x(0)=x_0$ and $\dot{x}(0)=0$ .

2. Now consider the case in which the directions of rotation of the rollers
are reversed, calculate the displacement $x(t)$ ,assuming $x(0)=x_0$ and $\dot{x}(0)=0$ .

22_Rigid_body/e_22_1_034.html

Rigid Body

A uniform cylinder starts to slide without friction on a slope (angle $\alpha$ with the horizon).
When the cylinder passes a distance $L$ the slope gets rough with a friction coefficient $\mu$ .
What will be the speed of the cylinder when the slipping ends?

22_Rigid_body/e_22_1_035.html

Rigid Body

A uniform rod of mass $M$ and lenght $l$ is free to move in a vertically about an axis that pass
at a point $a<l/2$ from the top. A bullet of mass $m$ hits the rod horizontally at the top with a speed $v$ .
What is the maximal angle for which the rod will rotate?

22_Rigid_body/e_22_1_036.html

Inertia Tensor

Find the inertia tensor of a uniform thin board with dimensions a*b.

22_Rigid_body/e_22_1_037.html

Moment of Inertia

1) Find the moment of inertia tensor of a uniform empty cylinder of radius R, length L and mass M with respect to it's main symmetry axis.
2) The same, but for a full cylinder.

22_Rigid_body/e_22_1_038.html

Moment of Inertia

A uniform full cylinder of radius R, length L and mass M is taken, and 4 holes are drilled into it.
Each hole has a radius of a/3, and it's center is located a distance of a/2 from the main symmetry axis. The holes are drilled symmetricaly, so as to form a cross.
Find the moment of inertia tensor of this new cylinder respect to it's main symmetry axis.

22_Rigid_body/e_22_1_039.html

Rigid body - conservation laws

A bar of length L and mass M is lying on a frictionless table. A ball with mass m and velocity v hits the bar perpendicularly at a distance d from the bar's center. Assume the collision is fully elastic, and find m such that after the collision only the bar moves.

22_Rigid_body/e_22_1_040.html

Physical Pendulum

Show how we can measure $\vec{g}$ using an arbitrary rigid body (for which we know the center of mass), a ruler and a timer.

22_Rigid_body/e_22_1_041.html

פרסציה

מערכת בנויה משתי מסות נקודתיות, $m$ , המוחזקות על ידי מוט חסר מסה באורך $2a$ . המערכת מסתובבת סביב ציר העובר במרכז המוט, במהירות זוויתית קבועה $\vec{\omega}$ , כך שהזוית בין המוט לציר הסיבוב היא $\theta$ . מצאו את מומנט הכוח שיש לספק כדי לקיים את התנועה הסיבובית.

22_Rigid_body/e_22_1_042.html

גלגול ללא החלקה

(פיסיקה 1 לפיסיקאים, 2/03/2006, מועד ב', 4)
על קרש אופקי מחוספס נמצא גליל אחיד במרחק $l$ מהקצה הימני. מתחילים להניע את הקרש בתאוצה $a_{0}$ שמאלה. באיזו מהירות נע הגליל כאשר הוא מגיע לקצה. אין החלקה.

22_Rigid_body/e_22_1_043.html

גוף קשיח

(פיסיקה 1 לפיסיקאים, 25/2/2007, מועד ב', 5)
מערכת מורכבת ממוט אחיד בעל אורך $l$ ומסה $m$ , אשר יכול להסתובב סביב ציר אופקי $O$ העובר במרחק $a$ מהאמצע $C$ . הקצה הנגדי של המוט מחובר לקפיץ אנכי בעל קבוע קפיץ $k$ . בשיווי משקל המוט נמצא במצב אופקי. מצאו את זמן המחזור של תנודות קטנות.

22_Rigid_body/e_22_2_021.html

מרכז מסה

הראה/י כי מרכז המסה של חרוט בעל גובה $h$ וצפיפות מסה אחידה נמצא בגובה $h/4$ מבסיסו.

22_Rigid_body/e_22_2_022.html

מרכז מסה

אב ובנו נמצאים בקצה השמאלי של סירה הנמצאת במנוחה. ברגע מסויים צועד הבן אל מרכז הסירה
והאב צועד אל קצה הימני של הסירה. בכמה תנוע הסירה ביחס למיקומה ההתחלתי?
נתונים:
מסת הסירה $m_1=220kg$ .
מסת האב $m_2=80kg$ .
מסת הבן $m_3=60kg$ .
אורך הסירה $L=4m$ .

22_Rigid_body/e_22_2_023.html

מרכז מסה

א. היכן מרכז המסה של מוט באורך $L$ בעל צפיפות מסה אורכית $\lambda=Ax$ אשר קצהו השמאלי מונח בראשית?
ב. היכן מרכז המסה של גזרה בעלת רדיוס $L$ וזוית $\alpha$ בעלת צפיפות מסה שטחית $\sigma=Br$ אשר קדקודה מונח בראשית?
ג. האם בגבול $\alpha\rightarrow0$ מתקבלת בסעיף ב' התוצאה של סעיף א'? הסבר/י.
רמז: מהם היחידות של $A$ ו- $B$ ?

22_Rigid_body/e_22_2_024.html

מרכז מסה

פגז נורה במהירות $v_0$ בזוית $\alpha$ מעל האופק. בנקודה מסויימת במסלולו מתפוצץ הפגז לשני רסיסים
בעלי מסות $m1$ ו- $m2$ . הרסיס הראשון פוגע בקרקע במרחק $R1$ מנקודת הירי. באיזה מרחק מנקודת הירי
פוגע הרסיס השני, אם נתון ששני הרסיסים פוגעים בקרקע בו זמנית?
א. פתור/י משיקולי מרכז מסה.
ב. פתור/י משיקולי תנע.

22_Rigid_body/e_22_2_041.html

חשב את מומנט ההתמד של גליל אחיד סביב ציר העובר במרכז הגליל

חשב את מומנט ההתמד של הצורה באיור דרך ציר העובר במרכז המסה ומקביל לציר הגליל.
רדיוס הגליל הוא R ורדיוס הקדח R/2. אורך הגליל L. נתון כי הצפיפות אחידה.

22_Rigid_body/e_22_2_042.html

המבנה המתואר באיור מורכב מורכב משלושה גלגלים זהים על-גבי משטח אופקיץמהם מקדמי החיכוך המינימליים בין גליל לגליל ובין הגליל למשטח על-מנת שהמבנה ישאר בש"מ סטטי רמז: יש לבחור בקפידה את נקודת הציר
diagram

22_Rigid_body/e_22_2_043.html

מטפס הרים השוקל 55 ק" גכ נע לאורך חריץ שרוחבו 20 ס"מ ע" י כך שהוא מושך עם ידיו את דופן החריץ ודוחף עם רגליו את הקיר שמנגד. מרכז המסה של המטפס נמצא במרחק 40 ס"מ מקצה החריץ. נתון כי מקדם החיכוך הסטטי בין הידיים לסלע הוא 0.4 ומקדם החיכוך הסטטי בין הנעליים לסלע הוא 1.2.

א.מהו הכוח המינימלי שעל המטפס לדחוף עם הרגליים ולמשוך עם הידיים על-מנת שיהיה יציב

ב.מה צריך להיות המרחק בין הידיים לרגליים של המטפס, עבור הכוח המופעל בסעיף הקודם

ג. אם יורד גשם והסלע נרטב, מקדמי החיכוך קטנים. כיצד הדבר ישפיע על תוצאות הסעיפים הקודמים

climber

22_Rigid_body/e_22_2_044.html

מרכז מסה

חשבו את מרכז המסה של הגופים הבאים, כולם בעלי צפיפות מסה אחידה: א. חצי קשת של מעגל. ב. חצי מעגל. ג. ספירה שהוחסרה ממנה ספירה בעלת חצי מהרדיוס שמיקומה נמצא במרחק חצי רדיוס ממרכז המעגל.
1

22_Rigid_body/e_22_3_222.html

התנגשות

במעבדה חלקיק בעל מסה 3.16 ק"ג נע במהירות של 15.6 מטר לשנייה שמאלה ומתנגש חזיתית בחלקיק הנע ימינה במהירות 12.2 ומסתו 2.84 ק"ג. מצא את מהירות מרכז המסה אחרי ההתנגשות.

22_Rigid_body/e_22_3_223.html

מרכז המסה של חרוט

מצא את מרכז המסה של חרוט שמסתו M גובהו H ורדיוס בסיסו R.

22_Rigid_body/e_22_3_224.html

מצא את מרכז המסה של חרוט שמסתו M גובהו H ורדיוס בסיסו R.דרך משפך (קבוע במקום ) שופכים חול, בקצב קבוע של $\alpha$ ק"ג לשנייה על סרט נע שמסתו M ק"ג. מה גודל F של הכוח שיש להפעיל על הסרט על מנת להבטיח שמהירותו תישאר קבועה?

22_Rigid_body/e_22_3_225.html

מרכז מסה

מהו מרכז המסה של חצי מעגל?

22_Rigid_body/e_22_3_226.html

מומנט התמד

מהו מומנט ההתמד של גליל בעל מסה m, גובה h, רדיוס בסיס R המסתובב סביב ציר העובר במרחק d ממרכז מסתו?

22_Rigid_body/e_22_3_227.html

מוברים ופיסיקה

כאשר מעלים ספה במעלה המדרגות, מי מתאמץ יותר, זה שלמטה או זה שלמעלה?

22_Rigid_body/e_22_3_228.html

גוף קשיח

נתון מוט בעל אורך dומסה m1 המונח באופן אופקי ע"ג שולחן, כאשר המוט מחובר בקצהו האחד לדופן השולחן בעזרת ציר. ברגע מסוים פוגע בקצה המוט כדור בעל מסה m2 ומהירות V0. מהי המהירות הקווית של הכדור לאחר ההתנגשות (האלסטית), ומהי המהירות הזוויתית של המוט?

22_Rigid_body/e_22_3_229.html

גוף קשיח

נתון כדור בעל מסה של 3.2 ק"ג ורדיוס 12 ס"מ, המסתובב סביב צירו במהירות זוויתית של 15 רדיאן לשנייה נגד כיוון השעון. כדור זה מונח על משטח אשר בינו לבין הכדור קיים מקדם חיכוך של $\mu_k=0.21$ . לאחר כמה זמן יתחיל הכדור להתגלגל ללא החלקה? מה תהיה מהירותו?

22_Rigid_body/e_22_4_001.html

חישוב מרכז מסה

נתונות הצורות הפשוטות הבאות:
חשב/י את מרכז המסה הגופים הנ"ל

22_Rigid_body/e_22_4_002.html

מומנט התמד 2D

מצא/י את מומנט ההתמד של טריז עבור הצירים הבאים:
א) הציר הסיבוב (ציר z) עובר דרך מרכז המסה:
(הציר ניצב למישור של הטריז)

ב) הציר עובר דרך הבסיס (מקביל לציר y):
(הציר נמצא בתוך המישור של הטריז)

22_Rigid_body/e_22_4_004.html

גלגלת מסיבית

נתונה קליפה כדורית המסתובבת סביב ציר מרכז מסה על גבי מיסב חסר חיכוך. על הקליפה מלופף חבל קל העובר (ללא החלקה!) דרך גלגלת
(בעלת מסה!) ומחובר לגוף m2 כמתואר באיור.
א) מה מהירותו של גוף m2 לאחר שעבר גובה h?
ב) מה היא תאוצתו?
ג) מה המתיחות בחבל (בחלקיו השונים)?
נתונים נוספים:
מסת הקליפה – m1 , רדיוס הקליפה –R.ניתן לתאר את הגלגלת כ-3 גלילים הזהים במסתם m3, כאשר המבנה הוא ששני הגלילים החיצוניים הם בעלי רדיוס גדול r3 והגליל
שבניהם הוא בעל רדיוס r2.

22_Rigid_body/e_22_4_005.html

מומנטים וקטילת דרקונים

דרייק קוטל הדרקונים מטייל בטירה. לפתע, בקצה המסדרון (במרחק 30 מטרים) רואה דרייק דרקון. מייד פונה דרייק ונמלט לחדר הקרוב ביותר (הוא לא היה קוטל כ"כ מוצלח), שדלתה פתוחה ב-90º. דרייק מתאמץ לסגור את הדלת במהירות , לכן הוא מפעיל את כל כוחו (F=650N) בקצה הדלת (רוחב הדלת מטר וחצי). בנוסף ידוע כי גובה הדלת 3 מטרים, מסתה 850 kg ומהירות הדרקון 45 קמ"ש.
האם דרייק יהפוך לארוחת צהריים (האם הוא יספיק לסגור את הדלת לפני שהדרקון יגיע)? (הנחייה: יש לחשב את מומנט ההתמד של הדלת)

22_Rigid_body/e_22_4_006.html

טריבושה

הטריבושה (Trebuchet) היא מכונת מצור מימי הביניים. ביכולתה היה להעיף סלעים במשקל עשרות ק"ג למרחק כמה מאות מטרים בדיוק רב.

א) תאר/י את אופן פעולתה של הטריבושה.
ב) למה הקליע מחובר בחבל למוט התנופה ולא נמצא ישירות עליו?
ג) עליך לתכנן טריבושה ( למצוא את המסת התנופה M) המסוגלת להעיף סלע במשקל 40 ק"ג למרחק 300 מטרים. בידך מוט תנופה באורך 28 מטרים (היחס הרצוי בין החלק הקצר לארוך הוא 6:1) במשקל 100 ק"ג. בנוסף, ידוע שהגובה התחלתי של הקלע גדול פי 4 מהגובה הסופי מסת התנופה.

22_Rigid_body/e_22_4_007.html

גלגול כדורים

נתונים שני כדורים בעלי מסה זהה m, המתגלגלים ללא החלקה במהירות v. בנקודה מסוימת כל אחד מהכדורים נתקל במדרון. האחד חלק לגמרי והשני לא. מי מבין הכדורים יעלה גבוה יותר?

22_Rigid_body/e_22_4_008.html

התנגשויות בגוף קשיח

נתון מוט אופקי המונח m1 על שולחן חסר חיכוך. גוף נקודתי בעל מסה m2 פוגע בו במרחק d ממרכזו בהתנגשות אלסטית לחלוטין.
א) מה תהיה מהירותו הקווית והזוויתית של המוט? (המהירות הסופית של m2 היא לא 0!)
ב) הנח/י כי ההתנגשות היא פלסטית לחלוטין. מה תהיה מהירותו הקווית והזוויתית של המוט?

22_Rigid_body/e_22_4_009.html

ביליארד

נתון כדור ביליארד הנמצא במנוחה. הכדור מקבל מכה חדה מסטקה הנמצאת במצב אופקי, בגובה h ממרכז הכדור. צורת מכה ספציפית זו יוצרת אפקט הנקרא “Forward English”: הכדור מתחיל לנוע במהירות V0, ובגלל האפקט הוא מגיע בסופו של תהליך למהירות סופית $\frac{9}{7}V_0$ .
הוכח/י כי $h=\frac{4}{5}R$ , כאשר R הוא רדיוס הכדור.

22_Rigid_body/e_22_4_010.html

גלגול במדרון

נתון גליל חלול המתגלגל ללא החלקה מראש מישור משופע בגובה H. לאחר שהגליל מגיע לקצה המישור המשופע הוא נופל בנפילה חופשית לאורך גובה h. בשלב זה הגליל מגיע למישור משופע בזווית θ השווה לזווית הרגעית בה הוא נמצא ברגע הגעתו למישור.
א) איך תיראה תנועת הגליל על המישור המשופע השני – האם הוא יחליק או יתגלגל?
ב) האם תנועה זו תישאר יציבה? אם לא, לכמה זמן?

22_Rigid_body/e_22_4_011.html

גלגול פחית

פחית ריקה שמסתה m1 מתגלגלת ללא החלקה על מישור אופקי במהירות v. הפחית מלאה בקרח יבש (מוצק) שמסתו m2. במרכזי הבסיסים של הפחית יש חורים קטנים שדרכם מתאדה הקרח היבש. הנח/י שהקרח מתאדה מהר מאוד.
א) אילו חוקי שימור מתקיימים במשך התנועה? נמק/י
ב) מה היא מהירות מרכז המסה של הפחית מיד לאחר שכל הקרח היבש התאדה?
ג) מה היא המהירות הסיבובית של הפחית באותו זמן?
ד) האם באותו זמן תנועתה נשארת כגלגול ללא החלקה?

22_Rigid_body/e_22_4_012.html

חרוט מתגלגל

נתון חרוט בעל רדיוס R, מסה M, זווית פתיחה 2θ וגובה h. החרוט מתגלגל על גבי שולחן, כאשר בסיסו מאונך לשולחן כמתואר באיור. המהירות הזוויתית של החרוט היא Ω. בטא/י את האנרגיה הקינטית הכללית של הקונוס כפונקציה של הפרמטרים הנ"ל.
רמז: צריך להשתמש בעובדה שהחרוט מתגלגל ללא החלקה, כלומר שיש התאמה בין המהירות הזוויתית של החרוט למהירות הזוויתית של הבסיס (ω): $v=R\cdot\Omega=h\cdot\omega$

22_Rigid_body/e_22_4_017.html

גשר עם משאית

גשר שאורכו $50m$ ומסתו $8X10%5E4kg$ נתמך בכל קצה כמתואר בציור.
משאית שמסתה $3X10%5E4kg$ נמצאת $15m$ מקצה הגשר.
מהם הכוחות הפועלים בכל אחת מנקודות התמיכה שבקצוות הגשר?

22_Rigid_body/e_22_4_018.html

מוט ועליו מסות

מוט אחיד עם מסה $50m$ ואורך $l$ תומך שני מסות $50m$ $50m$ במיקומים שמתוארים בציור. המוט נשען במנוחה בשתי נקודות.
עבור איזה ערך של x המוט יהיה מאוזן כולו על נקודת משען P (כח הנורמל בנק' O יהיה שווה לאפס)?

22_Rigid_body/e_22_4_019.html

הבוטיק של לולו

שלט בצורת חצי ספירה בעלת קוטר $1m$ וצפיפות מסה אחידה נתלה משני חוטים כמתואר בציור. מהן המתיחויות בחוטים?

22_Rigid_body/e_22_4_020.html

מומנט

חבל חסר מסה אינסופי מלופף סביב שני גלילים בעלי
מסות $m_1$ ו $m_2$ ורדיוסים $r_1$ ו $r_2$ בהתאמה.
א. מהם תאוצות מרכז המסה של המסות?
ב. מה התאוצות הרדיאליות של המסות?

22_Rigid_body/e_22_4_021.html

גלגול

דיסקה מלאה בעלת רדיוס $R$ ומסה $m$ מתגלגלת ללא החלקה
במורד שיפוע בזווית $\alpha$ .
מצא את תאוצת מרכז המסה.

22_Rigid_body/e_22_4_022.html

כדור גלגלת ומסה

כדור שמסתו $R$ ורדיוסו $R$ יכול להסתובב סביב ציר אנכי לרצפה העובר במרכזו, בהשפעת חבל הכרוך
עליו. החבל קשור דרך גלגלת (גליל מלא) שמסתה $R$ ורדיוסה $R$
היכולה להסתובב סביב ציר סיבוב העובר במרכזה לתיבה שמסתה $R$ .
כמו כן נתון שהחבל אינו מחליק על הכדור ועל הגלגלת.
נתון כי מומנט ההתמד של של כדור ביחס לציר הסיבוב העובר במרכזו
הוא $R$ ומומנט ההתמד של גליל מלא ביחס לציר הסיבוב העובר במרכזו הוא $R$ .
א. מהי תאוצתו הזויתית של הכדור.
ב. מהי תאוצתה הזויתית של הגלגלת.
ג. מהי תאוצת המסה.
ד. מהי המתיחות בכל אחד מהחבלים.

22_Rigid_body/e_22_4_023.html

מסה גלגלת וקפיץ

מסה $R$ קשורה בחוט חסר מסה לקפיץ עם קבוע קפיץ $R$
החבל נמצא במגע עם גלגלת שמסתה $R$ וצורה דיסקה ברדיוס $R$
היכולה להסתובב סביב ציר סיבוב העובר במרכזה.
במהלך התנועה לא מחליק החבל על גבי הגלגלת.
משחררים את המסה ממנוחה כאשר הקפיץ רפוי.
מצא מהירות המסה לאחר שירדה מרחק $R$ .
מומנט ההתמד של דיסקה מלאה ביחס לציר סיבוב במרכזה הוא
$R$ .

22_Rigid_body/e_22_4_024.html

איזון סרגל

על סרגל חסר מסה שאורכו $R$ תולים בצד אחד משקולת שמסתה $R$
ובצד השני משקולת שמסתה $R$ .
א. באיזה מרחק מהמשקולת הראשונה יש למקם את נקודת המשען על מנת שהסרגל ישאר מאוזן.

ב. נחליף את הסרגל חסר המסה בסרגל אחיד שמסתו $R$ , שבצדו האחד המסה $R$ ובצדו השני אין מסה.

מצא את נקודת המשען כעת.

22_Rigid_body/e_22_4_025.html

סולם מחליק

סולם שמסתו $R$ ואורכו $R$ , נשען על קיר אנכי
חסר חיכוך. מקדם החיכוך בין הסולם לרצפה הוא $R$ .
מהי הזוית המינימלית $R$ בה ניתן להעמיד הסולם בשיווי משקל

22_Rigid_body/e_22_4_026.html

ביליארד

מקל ביליארד חובט בכדור ביליארד שמסתו $R$ במהירות $R$
מהו הגובה המינימלי $R$ מעל מרכז הכדור בו עליו לחבוט על מנת שהכדור יתגלגל ללא החלקה

22_Rigid_body/e_22_4_027.html

תאוצת המסות

נתונה המערכת בציור, מצא את תאוצת כל המסות.
נתונה תאוצת הכובד $R$ וכן נתון שהחבל הוא חסר מסה והוא נע על גבי הגליל ללא החלקה.

22_Rigid_body/e_22_4_028.html

צעידה על סחרחרה

משטח סבוב עגול מסתובב על ציר אנכי קבוע ומשלים
סיבוב אחד ב $R$ שניות. מומנט ההתמד של המשטח סביב צירו הוא $R$ .
אדם שמסתו $R$ העומד בתחילה במרכז המשטח צועד לאורך הרדיוס.
כמה שניות יארך סיבוב של המשטח כאשר האדם נמצא במרחק $R$ ממרכזו
מה העבודה שהאדם השקיע בהליכתו

22_Rigid_body/e_22_4_029.html

מחליקי קרח מסתובבים

שני מחליקים על הקרח בעל אותה מסה $R$ נעים אחד לקראת השני
בקווים מקבילים שהמרחק בינם הוא $R$ . אחד מהם נע במהירות $R$
והוא מחזיק בידו בקצהו של מוט אופקי חסר מסה באורך $R$
והמחליק השני נע במהירות $R$ ותופס במוט כאשר הוא נפגש איתו.
א. מה המהירות הזויתית לאחר תפיסת המוט.
כעת המחליקים מושכים במוט עד אשר הם במרחק $R$ אחד מהשני.
ב. מהי המהירות הזויתית החדשה.
ג. מה העבודה שנדרשה בשביל לעבור למצב זה.

22_Rigid_body/e_22_4_030.html

תנע זוויתי

הגופים $R$ $R$ מחוברים על ידי מוט קשיח וחסר מסה באורך $R$ ,
ומסתובבים סביב מרכז המסה במהירות זוויתית $R$ . הגוף $R$ מתקרב
אל המערכת במהירות $R$ בזוית $R$ , ביחס לכיוון החיובי של ציר ה $R$ .
הגוף $R$ מתקרב לגוף $R$ ונדבק אליו ברגע שהמוט מקביל לציר $R$ .
א. מה מהירות מרכז המסה של המערכת כולה?
ב. מהי המהירות הזוויתית לאחר ההתנגשות?
ג. מהו השינוי הכללי באנרגיה של המערכת

22_Rigid_body/e_22_4_031.html

קוף מטפס על סולם

הסולם באיור, במסה של 2ק"ג, נשען על הקיר בזווית של 30 מעלות. מקדם החיכוך בין הסולם לקיר הוא 0.5 ובין הסולם לרצפה 0.34. קוף במסה 10ק"ג מתחיל לטפס על הסולם במהירות קבועה. כאשר הקוף מגיע למרחק מסויים מבסיס הסולם, הסולם מחליק. מצאו את היחס בין מרחק זה ובין אורך הסולם.

22_Rigid_body/e_22_4_130.html

מומנט התמד של ספירה

א. חשב מומנט התמד של ספירה (כדור חלול) בעלת צפיפות מסה אחידה, רדיוס R ומסה M סביב ציר העובר דרך מרכז המסה.
ב. חשב מומנט התמד של אותה ספירה סביב ציר המשיק לספירה.

22_Rigid_body/e_22_4_140.html

מולקולת חמצן

מולקולת חמצן $O_2$ מסתובבת במישור $xy$ סביב ציר $z$ העובר במרכז בין המולקלות.
מסת כל אטום היא $O_2$ ובטמפרטורת החדר המרחק בין האטומים הוא $d=1.21X10^{-10}m$ (לאטום ניתן להתייחס כאל מסה נקודתית).
א. חשב את מומנט ההתמד של המולקולה סביב ציר $z$ (שים לב שהבעיה היא בדידה)
ב. נתון שהמהירות הזויתית סביב ציר $z$ היא $\omega=4.60X10^{12} \frac{rad}{sec}$ , מהי האנרגיה הקינטית כתוצאה מהסיבוב?

22_Rigid_body/e_22_4_150.html

כדור בייסבול

מרכז המסה של כדור בייסבול בעל רדיוס $R=3.8cm$ נע במהירות $R=3.8cm$ ,
הכדור מסתובב סביב ציר העובר דרך מרכז המסה שלו במהירות זויתית $R=3.8cm$
א. חשב את היחס בין האנרגיה הקינטית כתוצאה ממהירות מרכז המסה לבין האנרגיה הקינטית כתוצאה מהסיבוב.

התייחס לכדור כאל כדור מלא. $I_{cm}=\frac{2}{5}mR^2$

22_Rigid_body/e_22_4_160.html

מחוגי השעון של הביג בן

L₁ = 1.2 [m] m₁ = 12 [kg]
L₂ = 1.5 [m] m₂ = 15 [kg]
L₃ = 1.8 [m] m₃ = 18 [kg]

22_Rigid_body/e_22_8_093.html

גוף קשיח

נתונה דיסקה שקוטרה 2R = 1 m ובה חור מעגלי שקוטרו 2r = 0.5 m. התפלגות המסה בדיסקה היא אחידה. מצא/י את נקודת מרכז המסה של הדיסקה. (רמז: התייחסו לחור כאל דיסקה עם מסה שלילית).

22_Rigid_body/e_22_8_094.html

גוף קשיח

ילד שמסתו 40 [kg] הולך על קורה שאורכה 2 מטרים. ומסתה 20 [kg]. הקורה תלויה באוויר על ידי שני חוטים, המתיחות המקסימלית של החוט הימני היא 350 [N] ושל החוט השמאלי 400 [N]. מהו התחום בו יכול לצעוד הילד בביטחה על הקורה ?

22_Rigid_body/e_22_8_095.html

גוף קשיח

בתחרות ריצה במסלול מעגלי, שנערכה לקראת האולימפיאדה (בייג'ין 2008) בשכונה ד', לפני ההקפה האחרונה מוביל האצן הנודע רב שודד על פני האצן המפורסם רב שוטר בזווית של π /8 (כלומר לרב שוטר נותרה הקפה שלימה ורב שודד הקפה פחות π /8). ידוע כי רדיוסו של המסלול המעגלי בשכונה הוא 100 [m] וכן שמהירותם של רב שודד ורב שוטר היא 54 [km/h].
א.כעבור כמה זמן יגיעו רב שודד ורב שוטר לקו הסיום בתנאים אלו ?
ב. בהתחשב בעובדה כי רב שודד הוא מעשן כבד, ומתחיל להאט לקראת הסיום, מה תהיה התאוטה (תאוצה שלילית) הזוויתית הקבועה המינימלית שתגרום למהפך במירוץ ?
ג. אם יפתיע רב שודד וימשיך באותו קצב עד הסיום מה תהיה התאוצה הזוויתית המינימלית של רב שוטר כך שיעקוף את יריבו המר בזווית של π /10 מקו הסיום?

22_Rigid_body/e_22_8_096.html

גוף קשיח

אם מקיפים את כדור הארץ בחבל לאורך קו המשווה (ומהדקים היטב) ואח" כ מוסיפים לאורכו של החבל 1 מטר ושוב מסדרים אותו בצורה מעגלית לאורך קו המשווה, האם ברווח שנוצר יוכלו לעבור שפן ? חתול?

22_Rigid_body/e_22_8_113.html

גוף קשיח

מוט צר ואחיד שאורכו L ומסתו M עומד על שולחן אופקי חלק. מטבע קטן שמסתו m מחליק על השולחן ומתנגש בתחתית המוט התנגשות אלסטית לחלוטין.
א.אילו גדלים פיסיקליים נשמרים בתהליך.
ב.אם המטבע נשאר במנוחה לאחר ההתנגשות, מהו יחס המסות בין המטבע למוט.

22_Rigid_body/e_22_8_114.html

גוף קשיח

ר' ידידנו הוותיק, נוהג לשחק ביליארד מדי יום חמישי. כאשר הגיע תורו להכות, ניסה ר' לחשב היכן ניתן להכות בכדור מכה אופקית כך שהכדור יתגלגל ללא החלקה מיד לאחר המכה. עזרו סטודנטים יקרים לר' למצוא את הנקודה הנכונה.

תשובה סופית: 2/5R מעל הציר העובר במרכז הכדור.

22_Rigid_body/e_22_8_115.html

גוף קשיח

לאחר שניסה ולא הצליח להכות בדיוק בנקודה המבוקשת, אלא דווקא בגובה R מהשולחן, ראה ר' כיצד הכדור מתגלגל ומחליק אך לאחר מרחק מסוים התגלגל הכדור ללא החלקה. מהו המרחק האופקי אשר עבר הכדור עד שהתגלגל ללא החלקה ?
הנח/י כי מקמי החיכוך שווים : µ_s = µ_k = µ והמהירות ההתחלתית של הכדור היא v₀.

22_Rigid_body/e_22_8_314.html

גוף קשיח

קורה שמסתה m=10kg ואורכה L=0.5 m מוחזקת לקיר ע"י ציר. משחררים את הקורה ממנוחה.
א.מהו מומנט ההתמד של הקורה יחסית לציר ?
ב.מצאו ביטוי לתאוצה הזוויתית כפונקציה של הזווית b.
ג.מהן התאוצות המשיקיות, a_A ו- a_B בנקודות A ו-B כאשר b=50⁰ ?נתון : OA=0.15m, OB=0.4m ?

22_Rigid_body/e_22_8_315.html

גוף קשיח

מטקה עשויה מקרש בעל צפיפות מסה שטחית של $\sigma=1 [kg/m^2]$ בצורת דיסקה ברדיוס 15 [cm], ומוט חד ממדי באורך 20 [cm] ומסה של 50 גרם, על פי הציור.

א.מהו מומנט ההתמד של המטקה כאשר ציר הסיבוב הוא נקודת החיבור של המוט לדיסקה?

ב.מהי התאוצה הזוויתית של המטקה כאשר מופעל בקצה המוט כוח של $F=10[N]$ אנכית למישור המוט והדיסקה (ע" פ הציור). התעלמו מכוח הכובד בסעיף זה.

22_Rigid_body/e_22_8_316.html

גוף קשיח

מטקה עשויה מקרש בעל צפיפות מסה שטחית של $\sigma=1 [kg/m^2]$ בצורת דיסקה ברדיוס 15 [cm], ומוט חד ממדי באורך 20 [cm] ומסה של 50 גרם, על פי הציור.
א.מהו מומנט ההתמד של המטקה כאשר ציר הסיבוב הוא נקודת החיבור של המוט לדיסקה?
ב.מהי התאוצה הזוויתית של המטקה כאשר מופעל בקצה המוט כוח של $F=10[N]$ אנכית למישור המוט והדיסקה (ע" פ הציור). התעלמו מכוח הכובד בסעיף זה.

22_Rigid_body/e_22_8_394.html

גוף קשיח

22_Rigid_body/e_22_8_395.html

2. Figure 9-40 shows the lines of action and the points of application of two forces about the origin 0, all vectors being in the plane of the figure.
Imagine these forces to be acting on a rigid body pivoted about an axis through 0 and perpendicular to the plane of the figure.
(a) Find an expression for the magnitude of the resultant torque on the body.
(b) If r1 = 1.30 m, r2 = 2.15 m, F1 = 4.20 N, F2= 4.90 N, 1 = 75.0, and 2 = 58.0,
what are the magnitude and direction of the resultant torque?

22_Rigid_body/e_22_8_396.html

3. Redraw Fig. 9-40 under the following transformations:
(a) F  -F,
(b) r  -r, and
(c) F  -F and r  -r, in each case showing the new direction of the torque. Check for consistency with the right-hand rule.

22_Rigid_body/e_22_8_397.html

9. What is the torque about the origin on a particle located at x = 1.5 m, y = -2.0 m, Z = 1.6 m due to a force
F = (3.5 N)i - (2.4 N)j + (4.3 N)k?
Express your result in unit vector notation.

22_Rigid_body/e_22_8_398.html

10. A particle is located at r = (0.54 m)i + (-0.36 m)j + (0.85 m)k. A constant force of magnitude 2.6 N acts on the particle.
Find the components of the torque about the origin when the force acts in
(a) the positive x direction and
(b) the negative z direction.

22_Rigid_body/e_22_8_399.html

12. Three particles are attached to a thin rod of length 1.00 m and negligible mass that pivots about the origin in the xy plane.
Particle 1 (mass 52 g) is attached a distance of 27 cm from the origin, particle 2 (35 g) is at 45 cm, and particle 3 (24 g) at 65 cm.
(a) What is the rotational inertia of the assembly?
(b) If the rod were instead pivoted about the center of mass of the assembly, what would be the rotational inertia?

22_Rigid_body/e_22_8_400.html

13. Two thin rods of negligible mass are rigidly attached at their ends to form a 90° angle. The rods rotate in the xy plane with the joined ends forming the pivot at the origin.
A particle of mass 75 g is attached to one rod a distance of 42 cm from the origin, and a particle of mass 30 g is attached to the other rod a distance of 65 cm from the origin.
(a) What is the rotational inertia of the assembly?
(b) How would the rotational inertia change if the particles were both attached to one rod at the given distances from the origin?

22_Rigid_body/e_22_8_401.html

15. A helicopter rotor blade is 7.80 m long and has a mass of 110 kg.
(a) What force is exerted on the bolt attaching the blade to the rotor axle when the rotor is turning at 320 rev/min?
(Hint: For this calculation the blade can be considered to be a point mass at the center of mass. Why?)
(b) Calculate the torque that must be applied to the rotor to bring it to full speed from rest in 6.70 s. Ignore air resistance.
(The blade cannot be considered to be a point mass for this calculation. Why not? Assume the distribution of a uniform rod.)

22_Rigid_body/e_22_8_402.html

22. A certain nut is known to require forces of 46 N exerted on it from both sides to crack it.
What forces F will be required when it is placed in the nutcracker shown in Fig. 9-46?

22_Rigid_body/e_22_8_403.html

23. The leaning Tower of Pisa (see Fig. 9-47) is 55 m high and 7.0 m in diameter.
The top of the tower is displaced 4.5 m from the vertical. Treating the tower as a uniform, circular cylinder,
(a) What additional displacement, measured at the top, will bring the tower to the verge of toppling?
(b) What angle with the vertical will the tower make at that moment? (The current rate of movement of the top is 1 mmlyear.)

22_Rigid_body/e_22_8_404.html

24. A cube stays at rest on a horizontal table when a small horizontal force is applied perpendicular to and at the center of an upper edge.
The force is now steadily increased. Does the cube slide or topple first?
The coefficient of static friction between the surfaces is equal to 0.46.

22_Rigid_body/e_22_8_405.html

28. A diver of weight 582 N stands at the end of a uniform 4.48-m diving board of weight 142 N.
The board is attached by two pedestals 1.55 m apart, as shown in Fig. 9-48.
Find the tension (or compression) in each of the two pedestals.

22_Rigid_body/e_22_8_406.html

29. What minimum force F applied horizontally at the axle of the wheel in Fig. 9-49 is necessary to raise the wheel over an obstac1e of height h?
Take r as the radius of the wheel and W as its weight.

22_Rigid_body/e_22_8_407.html

31. One end of a uniform beam weighing 52.7 1b and 3.12 ft long is attached to a wall with a hinge.
The other end is supported by a wire making equal angles of 27.0° with the beam and wall (see Fig. 9-51).
(a) Find the tension in the wire.
(b) Compute the horizontal and vertical components of the force on the hinge.

22_Rigid_body/e_22_8_408.html

19. A uniform disk of radius R and mass M is spinning with angular speed o. It is placed on a flat horizontal surface;
the coefficient of kinetic friction between disk and surface is k.
(a) Find the frictional torque on the disk.
(b) How long will it take for the disk to come to rest?

22_Rigid_body/e_22_8_409.html

20. A hoop rolling down an inclined plane of inclination angle  keeps pace with a block sliding down the same plane.
Show that the coefficient of kinetic friction between the block and the plane is given by k =1/2 tan.

22_Rigid_body/e_22_8_410.html

21. A uniform sphere rolls down an incline.
(a) What must be the incline angle if the linear acceleration of the center of the sphere is to be O.133g?
(b) For this angle, what would be the acceleration of a frictionless block sliding down the incline?

22_Rigid_body/e_22_8_411.html

22. A solid cylinder of length L and radius R has a weight W. Two cords are wrapped around the cylinder, one near each end, and the cord ends are attached to hooks on the ceiling.
The cylinder is held horizontally with the two cords exactly vertical and is then released (Fig. 9-66). Find
(a) the tension in each cord as they unwind and
(b) the linear acceleration of the cylinder as it falls.

22_Rigid_body/e_22_8_412.html

23. Show that a cylinder will slip on an inclined plane of inclination angle  if the coefficient of static friction between plane and cylinder is less than 1/3 tan.

22_Rigid_body/e_22_8_413.html

24. A uniform disk, of mass M and radius R, lies on one side initially at rest on a frictionless horizontal surface.
A constant force F is than applied tangentially at its perimeter by means of a string wrapped around its edge.
Describe the subsequent (rotational and translational) motion of the disk.

22_Rigid_body/e_22_8_414.html

25. A sphere, a cylinder, and a hoop (each of radius R and mass M) start from rest and roll down the same incline.
(a) Which object gets to the bottom first?
(b) Does your answer depend on the mass or radius of the objects? Explain.

22_Rigid_body/e_22_8_415.html

9. A sanding disk with rotational inertia 1.22 X 10-3 kgm2 is attached to an electric drill whose motor delivers a torque of 15.8 Nm. Find
(a) the angular momentum and
(b) the angular speed of the disk 33.0 ms after the motor is turned on. (1 ms = 10-3 s)

22_Rigid_body/e_22_8_416.html

10. A wheel of radius 24.7 cm, moving initially at 43.3 m/s, rolls to a stop in 225 m. Calculate
(a) its linear acceleration and
(b) its angular acceleration.
(c) The wheel's rotational inertia is 0.155 kgm2. Calculate the torque exerted by rolling friction on the wheel.

22_Rigid_body/e_22_8_417.html

13. A uniform stick has a mass of 4.42 kg and a length of 1.23 m. It is initially lying flat at rest on a frictionless horizontal surface
and is struck perpendicularly by a puck (rubber disk) imparting a horizontal impulsive force of impulse 12.8 Ns at a distance of 46.4 cm from the center.
Determine the subsequent motion of the stick.

22_Rigid_body/e_22_8_418.html

18. In a lecture demonstration, a toy train track is mounted on a large wheel that is free to turn with negligible friction about a vertical axis; see Fig. 10-25.
A toy train of mass m is placed on the track and, with the system initially at rest, the electrical power is turned on.
The train reaches a steady speed v with respect to the track. What is the angular velocity  of the wheel, if its mass is M and its radius R?
(Neglect the mass of the spokes (wires) of the wheel.)

22_Rigid_body/e_22_8_419.html

24. A girl of mass 50.6. kg stands on the edge of a frictionless merry-go-round of mass 827 kg and radius 3.72 m that is not moving.
She throws a l.13-kg rock in a horizontal direction that is tangent to the outer edge of the merry-go-round.
The speed of the rock, relative to the ground, is 7.82 m/s. Calculate
(a) the angular speed of the merry-go-round and
(b) the linear speed of the girl after the rock is thrown. Assume that the merry-go-round is a uniform disk.

22_Rigid_body/e_22_8_420.html

26. A top is spinning at 28.6 rev/s about an axis making an angle of 34.0° with the vertical.
Its mass is 492 g and its rotational inertia is 5.12 x 10-4 kgm2. The center of mass is 3.88 cm from the pivot point.
The spin is clockwise as seen from above.
Find the magnitude (in rev/s) and direction of the angular velocity of precession.

22_Rigid_body/e_22_8_421.html

3. To get a billiard ball to roll without sliding from the start, the cue must hit the ball not at the center
(that is, a height above the table equal to the ball's radius R) but exactly at a height 2R/5 above the center.
Prove this result.

22_Rigid_body/e_22_8_422.html

5. A billiard ball, initially at rest, is given a sharp impulse by a cue. The cue is held horizontally a distance h above the centerline as in Fig. 10-28.
The ball leaves the cue with a speed vo and, because of its "forward English" (spin), eventually acquires a final speed of 9vo/7.
Show that h = 4R/5, where R is the radius of the ball.

22_Rigid_body/e_22_8_423.html

8. A uniform fiat disk of mass M and radius R rotates about a horizontal axis through its center with angular speed o.
(a) What is its angular momentum?
(b) A chip of mass m breaks off the edge of the disk at an instant such that the chip rises vertically above the point at which it broke off (Fig. 10-29).
How high above the point does it rise before starting to fall?
(c) What is the final angular speed of the broken disk?

22_Rigid_body/e_25_4_001.html

כבידה

באופן רגיל כוח המשיכה בין שני גופים עולה עם הקטנת המרחק בניהם.
אבל...
הוכח/י כי עבור התצורה הבאה קיים טווח מרחקים מסוים בו כוח הכובד יורד עם הקטנת המרחק בניהם:

22_Rigid_body/e_25_4_002.html

גיאות

א) חשב/י את הכוח הכבידה הפועל על המים על ידי השמש ועל ידי הירח.
ב) לאור התוצאה של סעיף א', מדוע מייחסים את תופעת הגיאות בעיקר לירח? (רמז: חשב/י את היחס בין כוח הגאות של השמש ושל הירח)

22_Rigid_body/e_25_4_003.html

הגעה לירח

איזו מהירות צריך להעניק לטיל ע"מ שיגיע מכדו"ה לירח?

רמז: השאלה לא פשוטה כפי שהיא נראית!

22_Rigid_body/e_25_4_004.html

כבידה

ספינת חלל נמצאת במסלול מעגלי נמוך סביב כוכב לכת במערכת כוכבים שהתגלתה לאחרונה. הטבח הכניס את ארוחת הערב לתנור, וכיוון את השעון ל-45 דקות. לאחר שעברו 45 הדקות הטבח שם לב לכך שהספינה נמצאת בדיוק באותו מקום במסלולה שבו הייתה בעת שהוא הכניס את הארוחה לתנור. כאשר ציין זאת באזני הצוות, התרגש הקצין הטכני של הספינה וקרא: " זה רק במעט יותר מחצי תקופת מסלולה של תחנת החלל הנמצאת במסלול נמוך סביב כדו"ה!". למשמע הקצין הטכני קם מייד הקפטן והורה על הכנת צוות נחיתה משום שלטענתו הכוכב עשוי פלטינה טהורה! איך הגיע הקפטן למסקנתו?
צפיפות הפלטינה – 21.4 gr/cm3
צפיפות כדו"ה – 5.3 gr/cm3

רמז: אין קשר לטבח!

22_Rigid_body/e_25_4_005.html

כבידה

א) חשב/י את צפיפות הירח.
ב) חשב/י את תאוצת הכובד על פני הירח, הראה/י בעזרת טור טיילור (סדר I) עד כמה היא משתנה הגובה כבידה מפני הירח.
בכמה תשתנה תשובתך אם תקח/י סדר II? מה היא השגיאה יחסית לחישוב המדויק?
נתונים: $R_m=1.74\times10^6m,\ M_m=7.36\times10^22kg,\ T_m=27.3day$

22_Rigid_body/e_25_4_006.html

כבידה ותנועה הרמונית

מנהרה צרה וחלקה נחפרה לאורך קוטרו של כדו"ה (א'). עוזבים בפתחה כדור. בהנחה שצפיפות כדו"ה קבועה, הראה/י כי:
א) תנועת הכדור היא תה"פ.
ב) האם תנועתו תהיה תה"פ גם עבור מקרים ב' וג'?

25_Gravity/e_25_1_011.html

Gravity

What force acts on a star inside a spherically symmetric galaxy of the mass $M$ and radius $R$ . The star has a mass $m$ and is at binthe radius $r<R$ from the center of the galaxy.

25_Gravity/e_25_1_012.html

Gravity

A binary stellar system consists of two identical stars rotating around the center-of-mass of the system on circular orbits. The period of rotation $T$ and the velocity of the stars $v$ are known. Find the masses and the distance between the stars.

25_Gravity/e_25_1_013.html

Gravity

Saturn rings consist of football ball size particles which are moving on circular orbits around the planet. What is the maximal ratio of the ring width to its inner radius if the velocities at the inner and outer edge should not differ by more than 0.5\% ?

25_Gravity/e_25_1_014.html

Gravity

Three identical stars with the mass $m$ are rotating so that they forman equilateral triangle (side length $a$ ). What is the angular velocity ? What is the ratio $J/E$ ? Is this configuration stable ?

25_Gravity/e_25_1_015.html

Gravity

A particle is moving along the axis of a homogeneous ring (mass $M$ , radius $R$ ). The particle velocity at infinity is zero. What is its velocity when it passes through the center of the ring ?

25_Gravity/e_25_1_016.html

Gravity

The space between the two concentric spheres with the radii $a$ and $b$ , $a<b$ , is filled with a matter with the constant density $\rho$ . Find the gravitational field $g$ as a function of radius $r$ in the whole space.

25_Gravity/e_25_1_017.html

Gravity

A binary system consists of two stars with the masses $M$ and $2M$ . The distance between them is $R$ . Find the period of the orbital motion.

25_Gravity/e_25_4_001.html

כבידה

25_Gravity/e_25_4_002.html

גיאות

25_Gravity/e_25_4_003.html

הגעה לירח

איזו מהירות צריך להעניק לטיל ע"מ שיגיע מכדו"ה לירח?

רמז: השאלה לא פשוטה כפי שהיא נראית!

25_Gravity/e_25_4_004.html

כבידה

רמז: אין קשר לטבח!

25_Gravity/e_25_4_005.html

כבידה

25_Gravity/e_25_4_006.html

כבידה ותנועה הרמונית

25_Gravity/e_25_5_101.html

גרביטציה

רוצים להכניס טיל שמסתו m=1000kg למסלול מעגלי קבועה סביב כדוה" א כך שיקיף אותו אחת ל-12 שעות.
א.מהו רדיוס המסלול ?
ב.מהי מהירות הטיל ?
ג.באיזו מהירות v₀ יש לשגר את הטיל מפני כדוה" א (בהזנחת קיום האטמוספירה) ?

25_Gravity/e_25_5_102.html

גרביטציה

חללית שמסתה 10000 ק" ג נעה סביב כדוה" אבמסלול מעגלי שרדיוסו r = 3R באשר (R = רדיוס כדוה" א). נתונה תאוצת הכובד g ע"פ כדוה" א.
א.מהי תאוצת הכובד במרחק r = 3 R ?
ב.באיזו מהירות נעה החללית ?
ג.מהי תוספת האנרגיה שיש לתת לחללית הנ" ל ע" מ שתימלט ממקומה ?
לווין שמסתו 400 ק" ג סובב סביב כדוה" א במרחק R מפני כדוה" א (R = רדיוס כדוה" א). בעזרת רקטה משנים את מהירות הלווין ומעבירים אותו למסלול מעגלי חדש שרדיוסו 8R.
א.מהי האנרגיה שהושקעה ע" י הרקטה לשינוי מסלול הלווין ?
ב.מהי מהירות הלווין בשני המסלולים ?

25_Gravity/e_25_5_103.html

גרביטציה

שני גופים שמסתם 20 ק"ג מונחים בטעות בו זמנית כלווינים סביב כדוה" א ברדיוס סיבוב של 10⁷ מטרים כאשר המרחק בינהם הוא 10⁷*2 מטרים. המהירות ניתנת ללויינים בכיוונים מנוגדים.
אם ההתנגשות בין הגופים היא אלסטית :
א.מהו הזמן עד להתנגשות הראשונה ?
ב.מהו הזמן בין כל 2 התנגשויות סמוכות ?
אם ההתנגשות בין הגופים היא פלסטית :
ג.מהי האנרגיה האובדת בהתנגשות ?
ד.מהי המהירות בה פוגעים הגופים בארץ ?

25_Gravity/e_25_5_104.html

גרביטציה

לווין שמסתו 400 ק"ג סובב סביב כדה"א בגובה $R_{E}$ , כאשר $R_{E}$ הוא רדיוס כדה"א. בעזרת רקטה, משנים את מהירות הלווין ועבירים אותו למסלול מעגלי ברדיוס $8R_{E}$ .
א) מצא את האנרגיה שהושקעה ע"י הרקטה על מנת לשנות את מסלול הלווין?
ב) מהי מהירות הלווין בשני המסלולים

25_Gravity/e_25_5_105.html

גרביטציה

טיל נורה מפני כדה"א במהירות $2000 m/s$ .
א) מהוה גובה המקסימלי אליו מגיע הטיל?
ב) מהי מהירות הטיל בגובה 100 ק"מ מעל פני כדה"א

25_Gravity/e_25_5_106.html

גרביטציה

לווין נמצא מעל אותה נקודה מעל קו המשווה.
א) מהו זמן המחזור של סיבוב הלווין?
ב) מהו רדיוס הסיבוב שלו?
ג) מהו גובה הלווין מעל פני כדה"א

25_Gravity/e_25_5_107.html

גרביטציה

שני כוכבים שרדיוסם $R$ ומסותיהם $m$ ו $2m$ נמצאים במצב נייח כאשר מרכזיהם במרחק $10R$ זה מזה. ממצב זה, הם מתחילים ליפול זה לעומת זה.
א) מהם חוקי השימור בבעיה זו?
ב) מהי האנרגיה הפוטנציאלית ההתחלתית של המערכת?
ג) מהיה מהירותו של כל אחד מהכוכבים רגע לפני ההתנגשות?
ד) מהי עבודת כוח הרביטציה על הגופים עד לרגע ההתנגשות

25_Gravity/e_25_5_108.html

גרביטציה

לווין שמסתו $m$ נע סביב כוכב שמסתו $M$ במסלול מעגלי במהירות $v$ . לווין שני נע סביב אותו כוכב במהירות $2v$ .
א) לאיזה מהלווינים רדיוס סיבוב גדול יותר ופי כמה?
ב) לאיזה מהם זמן מחזור גדול יותר ופי כמה?
ג) מטאוריט פגע בלווין הראשון בכיוון משיק לתנועתו וגרם להכפלת מהירותו. האם הלווין יתנתק מהכוכב

25_Gravity/e_25_5_109.html

גרביטציה

חללית שמסתה 10000 ק"ג נעה סביב כדוה"א במסלול מעגלי שרדיוסו r = 3R
(R = רדיוס כדוה"א).
נתונה תאוצת הכובד g ע"פ כדוה"א.
א.      מהי תאוצת הכובד במרחק  r = 3 R ?
ב.       באיזו מהירות נעה החללית ?
ג.        מהי תוספת האנרגיה שיש לתת לחללית הנ"ל ע"מ שתימלט ממקומה ?

25_Gravity/e_25_8_001.html

7. A typical neutron star may have a mass equal to that of the Sun but a radius of only 10.0 km.
(a) What is the gravitational acceleration at the surface of such a star?
(b) How fast would an object be moving if it fell from rest through a distance of 1.20 m on such a star?

25_Gravity/e_25_8_002.html

10. Two concentric shells of uniform density having masses M1 and M2 are situated as shown in Fig. 14-29.
Find the force on a particle of mass m when the particle is located at
(a) r = a,
(b) r = b, and
(c) r = c. The distance r is measured from the center of the shells.

25_Gravity/e_25_8_003.html

14. Show that the velocity of escape from the Sun at the Earth's distance from the Sun is 2 times the speed of the Earth in its orbit, assumed to be a circle.
(This is a specific case of a general result for circular orbits: Vesc = 2VOrb.)

25_Gravity/e_25_8_004.html

15. A rocket is accelerated to a speed of v = 2(gRE)1/2 near the Earth's surface and then coasts (moves) upward.
(a) Show that it will escape from the Earth.
(b) Show that very far from the Earth its speed is v = (2gRE)1/2.

25_Gravity/e_25_8_005.html

16. The Sun, mass 2.0 X 1030 kg, is revolving about the center of the Milky Way galaxy, which is 2.2 X 1020 m away.
It completes one revolution every 2.5 X l08 years. Estimate the number of stars in the Milky Way.
(Hint: Assume for simplicity that the stars are distributed with spherical symmetry about the galactic center and that our Sun is essentially at the galactic edge.)

25_Gravity/e_25_8_006.html

19. Two neutron stars are separated by a center-to-center distance of 93.4 km. They each have a mass of 1.56 X l030 kg and a radius of 12.6 km.
They are initially at rest with respect to one another.
(a) How fast are they moving when their separation has decreased to one-half of its initial value?
(b) How fast are they moving just before they collide? Ignore relativistic effects.

25_Gravity/e_25_8_007.html

20. Two particles of mass m and M are initially at rest an infinite distance apart.
Show that at any instant their relative velocity of approach attributable to gravitational attraction is (2G(M + m)/d)1/2 ,
where d is their separation at that instant.

25_Gravity/e_25_8_008.html

24. Determine the mass of the Earth from the period T and the radius r of the Moon's orbit about the Earth: T = 27.3 days and r = 3.82 X 105 km.

25_Gravity/e_25_8_009.html

26. Spy satellites have been placed in the geosynchronous orbit above the Earth's equator.
What is the greatest latitude L from which the satellites are visible from the Earth's surface? See Fig. 14-30.

25_Gravity/e_25_8_010.html

28. Use conservation of energy and an expression for the total energy to show that the speed v of an object in an elliptical orbit
satisfies the relation v2 = GM(2/r-1/a). Here r is the distance of the orbiting body from the central body of mass M.

25_Gravity/e_25_8_011.html

29. A comet moving in an orbit of eccentricity 0.880 has a speed of 3.72 km/s when it is most distant from the Sun. Find its speed when it is closest to the Sun.

25_Gravity/e_25_8_012.html

32. As shown in Fig. 14-31, two bodies (of masses m and M) in¬teracting through their mutual gravitational force will orbit with the same angular speed 
about their center of mass C.
(a) Show that in this case Kepler's law of periods becomes T² = 4p²r³(1+R/r)²/(GM).
(b) Evaluate the correction factor (1 + R/r)² for the motion of the Earth and the Sun and also for the motion of the
Earth and the Moon, in each case ignoring the gravitational effect of the other bodies in the solar system.

25_Gravity/e_25_8_013.html

1. Two point-like objects, each with mass m, are connected by a massless rope of length l.
The objects are suspended vertically near the surface of Earth, so that one object is hanging below the other.
Then the objects are released. Show that the tension in the rope is T = GMml/R3 where M is the mass of the Earth and R is its radius.

25_Gravity/e_25_8_014.html

8. The fastest possible rate of rotation of a planet is that for which the gravitational force on material at the equator barely provides the centripetal force needed for the rotation. (Why?)
(a) Show then that the corresponding shortest period T of rotation is given by T ² = 3/(G) where  is the density of the planet, assumed to be homogeneous.
(b) Evaluate the rotation period T assuming a density of 3.0 g/cm3, typical of many planets, satellites, and asteroids.
No such object is found to be spinning with a period shorter than found by this analysis.

25_Gravity/e_25_8_015.html

11. The following problem is from the 1946 "Olympic" examination of Moscow State University (see Fig. 14-36):
A spherical hollow is made in a lead sphere of radius R, such that its surface touches the outside surface of the lead sphere and passes through its center.
The mass of the sphere before hollowing was M. With what force, according to the law of universal gravitation, will the hollowed lead
sphere attract a small sphere of mass m, which lies at a distance d from the center of the lead sphere on the straight line connecting the centers of the spheres and of the hollow?

25_Gravity/e_25_8_016.html

14. Use the model of the Earth shown in Fig. 14-37 to examine the variation of g with depth in the interior of the Earth.
(a) Find g at the core-mantle interface. How does g vary from this interface to the center of the Earth?
(b) Show that g has a local minimum within the mantle; find the distance from the Earth's center where this occurs and the associated value of g.
(c) Make a sketch showing the variation of g within the Earth.

25_Gravity/e_25_8_017.html

20. A rocket burns out at an altitude h above the Earth's surface. Its speed vo at burnout exceeds the escape speed v_esc appropriate to the burnout altitude.
Show that the speed v of the rocket very far from the Earth is given by v = (v_o2 - v_esc2)1/2.

25_Gravity/e_25_8_018.html

25. Consider two satellites A and B of equal mass m, moving in the same circular orbit of radius r around the Earth but in opposite senses of revolution and therefore on a collision course (see Fig.14-42).
(a) In terms of G, ME, m, and r, find the total mechanical energy of the two-saiellite-plus-Earth system before collision.
(b) If the collision is completely inelastic so that wreckage remains as one piece of tangled material, find the total mechanical energy immediately after collision.
(c) Describe the subsequent motion of the wreckage.

25_Gravity/e_25_8_019.html

26. The Sun's center is at one focus of the Earth's orbit. How far is it from the other focus?
Express your answer in terms of the radius of the Sun RS = 6.96 X 10⁸ m.
The eccentricity of the Earth's orbit is 0.0167 and the semi-major axis is 1.50 X 10¹¹ m.

Distance in polar coordinates

Distance in spherical coordinates

Elliptical coordinates

Distance in elliptical coordinates

Coordinates and vectors

Distance element

Distance element

Distance element

Coordinates and vectors

Volume of tetrahedron

Coordinates and vectors

Elliptical coordinates

Legitimate coordinates?

Length of parabola

Circumference

Equation of plane

Spherical coordinates

Cylindrical and spherical coordinates

Coordinates and vectors

The shortest distance between cities

Coordinates and vectors

Distance element in the elliptical coordinates

Cross product

Coordinates and vectors

Projection

Projection

Coordinates and vectors

Coordinates and vectors

Coordinates and vectors

Intersection line of two planes

Equation for a circle

Cylindrical surface

Coordinates and vectors

Angular momentum

Coordinates and vectors

תרגיל

תרגיל

תרגיל

תרגיל

Vector algebra

Relations between two coordinate systems

Linear dependence of vectors

Partial derivatives and differentials

Vector algebra

Coordinates

Coordinates

Derivatives

Differential equations

Differential equations

Differential equations

Differential equations

Differential equations

Fourier series

The power of curvilinear coordinates

טורי טיילור

יעקוביאנים

אינטגרלים

משוואה דיפרנציאלית

זהויות וקטוריות

משפט סינוסים וקוסינוסים

משפט סינוסים וקוסינוסים

משפט הקוסינוסים

אינטגרלים

משוואות דיפרנציאליות

משוואות דיפרנציאליות

משוואות דיפרנציאליות

וקטורים

וקטורים

וקטורים

וקטורים

מהירות

חקירת פונקציה

וקטורים

וקטורים

וקטורים

פונקציות

תנועה

וקטורים

וקטורים

משוואות דיפרנציאליות

Distance element $ds^2$ in the elliptical coordinates